sin 5a: s/q'i^-^']' +9'M

= sin A' V \(j-^"-^'

-hsin5x^s/q'^'""'^'' ou bien, sous la forme d'une somme double,

/rK . 2K^

— smam

K^ V^ . , . \i f2'/.-hi)(2m-i-i)

= > sm(2[^-hi)\ry~^ • ^^

Faisons donc

M représentera tous les nombres impairs, et le coefficient d'un terme quelconque V*^, dans la série, sera la somme de toutes les quantités sin(2p + i)^, où 2^ + 1 est un diviseur de M. El comme tout diviseur d'un nombre impair est lui-même impair, on pourra écrire plus simplement, en désignant par p un diviseur de M ,

D'une manière toute semblable on obtiendra

— cosam =X( — " yT y,[ — '0 " cospt.r.

A l'égard de Aam x, si l'on désigne par N = a'' M un nombre entier quelconque, a"-' étant la puissance la plus élevée du facteur 2 qu'il contienne, de sorte que M soit impair, on aura

— Aam = yH->( — i) - ^^>. (— i) cosa-'^'y.^,

OÙ p. représente comme précédemment tout diviseur de nombre impair M. Il est impossible de ne pas être frappé du caractère arithmétique de ces expressions :

^ sin iix,

^{—^) "" cosfx.r,

tj. — I V( — i) '^ cosa-'"'"'^^,

elles offrent un exemple Aes Jonctions numériques qui ont été le sujet des belles recherches de M. Liouville, et la manière si simple dont elles sont amenées par la théorie des fonctions elliptiques peut aisément faire présumer le rôle de cette théorie dans l'élude des propriétés des nombres.

III. — Vérification des équations différentielles fondamentales.

Désignons par m et ni' tous les nombres impairs positifs et négatifs, par la lettre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en posant :

^ i-hq""'

472 NOTE SUU LA THEOIllE

on aura

sin am

■iKx

cos am

■îKx

K iKa: „,

— A am = W.

Cela posé, aux équations

. d sin am^ dx

d cosamx

c^Aam.r dx

= cosamr Aam^ , = — sin am x A am x ,

= — /, = sinam:rcosamar,

correspondenl celles-ci :

dW .....

-j—= 2iUV,

que nous nous proposons de vérifier.

Considérons pour cela les produits

vw = 2r7

f, 1 g(m'+2n) ix

uw = yA

{i-q'"){i-hq"')

2 fi{m+m')iz

ei observons qu'on a identiquement

m-\--in m+ln

( I — î'" ) ( I 4- î'"' } I -+- q-"^"''. \ i — q'" i 4- q'"' J ' En posant

de sorte que M et M' soient des nombres impairs, et N un entier quelconque, on pourra écrire :

uw = y ix^ ( î y

Uy __ V* V *^ / ' y \

Ces expressions étant comparées respectivement à —' — ■>

dx dx

-^ — 5 on reconnaît qu il suffit pour démontrer les relations

différentielles d'établir qu'on a, en supprimant les accents :

i^ACROw, Cale, diff., Il, 3

Le procédé à suivre pour cela étant le même dans les trois équations, nous considérerons pour (ixer les idées la première. Distinguons à cet effet les valeurs positives des valeurs négatives du nombre m; les premières conduisent à l'expression

qu'en supposant M positif, nous écrirons

d'après les identités

i-f-^""'" i-i-fy"'"'"

Les secondes, en mettant — «i à la place de m, à celle-ci :

de sorte qu'il reste la quantité suivante

Mais à partir de m = a^M -|- i, tous les termes de la première somme sont donnés par la seconde en signes contraires, et disparaissent. Ainsi il ne subsiste plus qu'une série finie

que nous décomposerons comme il suit, en isolant le terme moyen, savoir :

f.m-,1 2 ^mi \-^q"

Or en remplaçant — ^ ^^^^ par ^j::^, lapremiere somme

est

H-(/= i-hq' '

et ces divers termes, respectivement ajoutés à ceux de la seconde, savoir :

i-h(J- 1 + 7' iH-^y"-'

donneront autant de fois l'unité qu'il y a de termes, c'est-ti-

, . Aï — I . . , , 1 i- • I . .

dire ; joignant a cela la Iraction - qui correspond

au terme du milieu, il vient en deiinitive — i = — ?

ce qui est bien le résultat auquel il fallait parvenir. Enfin si

l'on suppose M négatif, on observera que l'expression que

nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que

En effet, sii'on met dans le premier membre m + M au lieu de ni, on obtiendra identiquement le terme général de la série du second membre.

Après avoir ainsi montré par un exemple important de quelle manière les nouveaux développements peuvent, comme ceux qui ont servi de base à la théorie, conduire aux propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons présenter sous un point de vue plus général la comparaison entre les deux modes d'expressions, en donnant sous forme de série périodique simple une fonction uniforme quelconque à double période.

IV. — Développement en série de sinus et de cosinus d'une fonction doublement périodique.

Nommons F (z) la fonction proposée, a el b ses périodes; voici en premier lieu comment nous définirons les limites de la variable, entre lesquelles sera successivement représentée cette fonction, par un développement en série de sinus et de cosinus qui mettra en évidence, par exemple, la période a.

4y6 \OTE SUU LA THÉORIE

Observons à cet effet que l'expression z^=at -i- bu,

en supposant réels t et u, peut représenter toute qu;imiié imaginaire, et que s'il s'agit d'obtenir toutes les valeurs que peut prendre F (z), il suffira, eu égard à la double périodicité, d'attribuer h t el u toutes les valeurs réelles comprises entr(; zéro el l'unité. Nous appliquerons cette remarque aux racines <; de l'équation , . =o dont dépendent les limitations

que nous avons en vue, et en suivant l'ordre croissant depuis zéro à l'unité des valeurs de u, nous les désignerons par Ç,, Çj, . . ., 'Cj, de sorte que ç, corresponde a u= Ui. Cela posé, soit u,- une quantité comprise entre ui et «,+,(*), les limites exclues, l'expression

ne pourra devenir infinie pour aucune valeur réelle de t, <i donnera lieu par suite au développement

convergent quelle que soit cette variable. Par conséquent, si les quantités Ç, sont en nombre fini et égal à u., l'ensemble des \L séries suivantes :

( - ) g'imi t: t

représentera F(3) pour z^^at-r-bu, t étant quelconque,

(") La quaiililé y, pourra être supposée comprise non-seulement entre u, fei xéro, mais encore eiilre zéro et la valeur négative de u la plus petite, abstraction faite du sifîiie.

H moindre que l'unité, mais toutefois en excluant les quantités

at -h bux ,

at -h bii-i.

at -I- bu„ ,

Et si l'on reproduit périodiquement les mêmes séries, en faisant croître u depuis l'unité jusqu'à l'infini, et décroître depuis zéro jusqu'à l'infini négatif, on aura embrassé toute l'étendue des valeurs imaginaires de l'argument et obtenu, sauf les restrictions indiquées, une représentation complète de la fonction. Ceci bien compris, nous allons donner la détermination des quantités Am-

Pour cela, nous emploierons la proposition fondamentale du calcul des résidus, exprimée par l'équation

f(3)f/^::^^2/rA,

OÙ le premier membre représente l'intégrale d'une fonction uniforme f (2), prise le long d'un contour fermé quelconque, et A la somme des résidus de f(i) pour toutes les valeurs de la variable, qui correspondent à des points renfermés dans ce contour. Cette proposition de M. Cauchy, appliquée au cas où le contour est un parallélogramme ayant pour aflixes de ses sommets les quantités

et pour équations de ses côtés ces relations où la variable croît de zéro à l'unité, savoir :

z = p -\- at ,

z= p-\- a-\- bt,

donnera

— ^' f {[p-^b-^a[i-t)]dt—b r'f[iv-f-6(i — /)]

OU plus simplement

" f i[p-r-at)dt-^b j({p-]-a-Y-bt]dt

— a f {{p-\-h^-at)dt — b j {{p -r^ bt)dt —-ii^ X.

D'ailleurs et d'après la signification précédemment indiquée, A représentera la somme des résidus de i{z) pour toutes

les racines l de l'équation — — :=:o, dont les valeurs peuvent

être représentées par la formule

ç = p n- at -h bu ,

en supposant t et u compris entre zéro et l'unité. Cela posé, l'équation

donnant

nous appliquerons la relation (i) en faisant p=ibv,.

-2mi:T

Comme

on a

évidemment

iiz+a) =

en posant, ainsi que plus haut ,

iiz-

le premier membre de l'équation se réduira à

Ouanl au second, c'est-à-dire à la somme des résidus de la l'onction

pour r= ç, , ?:,..., Ç^, nous supposerons pour simplifier que

ces quantités soient des racines simples de l'équation =—-:== o;

alors en désignant par R, la limite de £F(i;,-i- s) pour £ = o, on

trouvera immédiatement

On en conclut le développement clierché de la fonction V{z) pour zz=^ at-\- 6ui sous cette forme

F(i;) = consH-— ^ a

où nous ajoutons une constante arbitraire, en supprimant dans chaque somme le terme qui correspond à m = o. Pour ce cas effectivement l'équation

ne peut, comme on le voit, déterminer A^^, et donne seulement A — o, c'est-à-dire

Mais, avant d'aller plus loin, faisons de suite une application de la fornnule générale que nous venons d'obtenir en supposant F {z}= sinam^. Soit alors

a=i4K, 6 = 2iK',

on aura

Ri = lim e sin am ( iK' -+- s) = -r'>

= s/qy

et par suite

smam2= — r-^l > > 4-consi

jn^-Jz—iK') I — q—

I — ry— J

Fi-r

— I V"! -+- ronst

On voit qu'on peut ne conserver que les valeurs impaires de m, de sorte qu'en supposant nulle la constante, on trouvera immédiatement

sin am = > e"" " " • — - — »

c'est-à-dire pour le second membre la série désignée par U,

P-47Ï- Revenons aux considérations générales, et surtout à la

comparaison des deux développements qui correspondent à 2= «f-h 6u, et « = rt/ + iuj. Les résidus dans le premier cas se rapportent aux valeurs Ç,, Ç2, • • ■ , ?„ ; or en passant à l'intervalle suivant, défini par la relation z=^at-\-hMi, on sera conduit à la série t-,, Ç3,. . ., ç,^, Ç, + 6, et comme les résidus de F(z) relatifs à i;,, ç, -h 6 seront les mêmes, les deux développe-

3>i:S FOXCTÎOXS ELLIPTIQUES. 48 1

menls seront, avec l'expression des termes constants,

Jo a ^ I — q

3mi^(2-Ç,)

Ce sont donc les termes constants que nous avons à comparer. Nous nous servirons pour cela de l'équation déjà employée, en y remplaçant la période h par une quantité arbitraire p, savoir :

n i Y{p-^-at)dt-\-fj j F{p -+- a-h ^t)dt

Si nous supposons pz^^b^^ q\ p-{-<^ = bv2, a se réduira au seul résidu de T{z) qui correspond à 2 = ?,, et l'on aura immédiatement, en divisant par a, la relation

r F[at-\-bv,)dt— C' Fia *Jo «/o

^-l-6u.Uf= — R..

Nous pouvons donc ramener les deux développements à ne contenir absolument que les mêmes éléments analytiques, de sorte que, le premier étant

ch — R.x 1 — -R.y - — h....

Le so.cond, en réunissant les termes en R,, s'écrira ainsi:

Do là se lire vnie conséquence importante et qui justifiera ce ([uc nous avons annoncé plus haut, sur le rôle de la fonction de seconde espèce.

Remarquons, en effet, que les diverses séries affectées des fadeurs R,, R,, etc., proviennent de ce seul développemeiil :

en y remplaçant 2 par 2 — ;:,, z — 'C-^, etc., et ^ — Ç, — ^ dans le second cas. Or, en m( pement prend la forme

le second cas. Or, en mettant -s au lieu de :;, ce dévelop-

■îm

qui nous rappelle immédiatement une expression analytique bien connue. Soit, en effet, « = 2K, b^='2iK', d'où <i. = q, on aura

DïvS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 4^^

ei pour :: = al -\- b^j,

C'est en ce moment que se manifeste toute l'importance de la propriété caractéristique de la fonction de seconde espèce relativement à la double périodicité. Effectivement les relations

Z (^ -h 9. i'K' ) = Z (x j -4- 2 iy, équivalent à celles-ci :

q{x -\-iK) &{x)'

@'{x—-2.iYJ) &'{x)

0~( X — ii K' ) ~ 0(^) K

d'où l'on voit que l'on peut ramener à une seule les deux

formules de développement, par l'introduction de la transccii-

. , &'{z — ç, — 'xiK') in ,, . .

dante, puisque la quantité — -, :^r-r^ — -tt- se réduit ;i

' * ^ 0(3 ?, llW) K

De là résulte une relation analytique générale subsistant dans toute l'étendue des valeurs de l'argument, et dont la forme définitive, en passant de F (2 — /K') à F(2), s'obtiendra comme il suit. Rappelons d'abord que l'on a

— '-j^ {■2X-\riK')

d'où, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres,

484 NOTK SUK LA TIIKORIE

Il s'ensuit qu'en menant zH-i'K' à la place de z, on obtiendra

F{z)-C + R.j^^^.^^^--R..g-^^-.-... + R,,jj^^^^^^

et plus simplement, puisque la somme des résidus est nulle,

Dans le cas enfin où t, au lieu d'être une racine simple de l'équation =- — - z= o, serait racine multiple d'ordre n, ce qui donnerait lieu à la relation

le seul terme R ^ ; devrait être remplacé dans la for-

mule par l'ensemble

H(z-0 - dz\\\{z-(,)\ ' ••

V \V{z—X,) -\ , (— i)"-A d^ VW[z-V[\

LH(2 — i;)J~^i.2.../i — I dz Lh(^ — <;)]'