On a vu (27) que
+ el
et il
suit de cette formul
e que
d II h
dx I
diC- '^ dx-^
du' dx^
d n h dx I
du'' '^ dx-'
diC"
etc.,
etc.
Si maintenant on transporte les exposants des puissances de du à la caractéristique d, le second membre de l'équation précédente deviendra
du h Qpu h- d'il h'
-. i-T"!' ^-n— ;• ô ■+- etc.,
d ^- 1 d .;cM . 2 d x^ 1 . 2 . 3
et sera la même chose que \u : on aura donc
pourvu que dans le développement du second membre, on transporte à la caractéristique d les exposants des puissances de du.
D'après ce résultat, Lagrange a remarqué le premier qu'on avait en général
/ du
à"u — le'
en observant toujours de transportera la caractéristique d les exposants des puissances de du.
Depuis, on a simplifié celte manière d'écrire, en posant
A«=Ve'^^ —iju, A"H^\e'^'' —i)n;
car il n'y a plus rien à changer dans le développement; mais il faut bien se rappeler que la lettre d exprimant une caractéristique et non pas une quantité, les équations ci-dessus ne deviennent effectives que par le développement de leur second membre. Voici comment Laplace a démontré ce beau résultat.
'' Il est évident, par ce qui a été dit dans le numéro précédent, que, quelle que soit l'expression de ^"u, on doit avoir
A" u = - — /j" 4- A' -; A"-*-' + A" h"^- -+- etc.,
dx" d^"+' dx"-^'
A', A", etc. désignant des coefficients qui ne dépendent que de n. Celte équation devant subsister pour toutes les formes que peut prendre la fonction u, conviendra nécessairement au
cas où u = e*; mais alors
du d- M d' M
Substituant cette valeur de A"« dans le premier membre de
1 équation posée plus haut, et celles de -r- •> -, — ' etc., dans le
ax ûx^
second, il viendra
[e^ — I )« = A» 4-. A' A"+ ' + A" A"-^' + etc . ,
d'où il suit que les coefficients A', A", etc. doivent être les mêmes que ceux du développement de (e^ — i)", puisque l'accroissement h doit demeurer indéterminé. Il ne peut d'ailleurs exister aucune difficulté à l'égard des coefficients différentiels de u, qui se déduisent tous des puissances de d a par le changement indiqué dans les exposants.
La même relation entre les puissances et les différences se retrouve dans les fonctions d'un nombre quelconque de variables, et se prouve d'une manière analogue.
c) u , du,
-T—n — Il
ô))2. De Au^=e — i on tire e := i -i- Mi ; et si l'on prend les logarithmes de part et d'autre, il viendra
Lagrange a encore reconnu que cette équation serait vraie, si dans le développement de l(i+Aîf) on transportait à la caractéristique A les exposants des puissances de Au; on aurait par ce moyen
du j I I I , ,
-r- h = \ii \-'u + -A3« — -A'?i + etc. 29 .
ax 234
Au lieu de m'arrèter à démontrer ce cas particulier, je vais prouver qu'en général
dx" ^ ■'
en changeant Aw% mi\ etc. en A^ii, A'w, etc., ou bien
sans rien changer dans le développement.
Il est visible que la question revient à déterminer les coefficients différentiels -r— ? -, — - ' etc., en fonction des différences ax ax-
successives de u, et que pour cela on a des équations de la forme
A" u = -T— h" + A' -r-— A"+' -h A" -j-— - /i"+^ -h etc.,
^«+. „ ^ — /i«+.l A', -— — A"+^-t- etc.,
A"+'« = A"+'4- etc.,
Ax"+^
etc.,
dans lesquelles les coefficients différentiels ne montent qu'au premier degré : on peut donc faire
Jlif /j" =z A" « + 6'^"+' /< H- B"a"+' u + B"'A''+^ ?< 4- etc. dx"
On obtiendrait facilement la valeur des coefficients inconnus B', B", B'", etc., par l'élimination successive de
-i — T, fi y 1 — X-, ti y etc. ;
mais puisque l'équation hypothétique doit avoir lieu, quelque
soit u, elle subsistera encore lorsqu'on y fera u^=e', ce qui
donnera
-— -=:^', et A'M=:e^(e* — i)',
quelque valeur qu'ait le nombre entier i, et l'on trouvera par conséquent
/<"= (e* — i)"-|-B'(e'^ — i)«+' + B"(e* — 1)"+' -f- etc.
Pour mettre en évidence l'identité des deux membres de
3o DES DIFFÉRENCES
celle équaiion, il suffit d'observer que
parce que le développement de 1 (i-f-e'^ — i), ordonné suivant les puissances de e^ — i, qui est
e*— I — ;;(e* — i)' + ^ (e'' — i)'— ^ (e'' — i)' + etc.,
étant élevé à la puissance n, deviendra comparable à la série
(e^ — i}"H-B'(e'^— i)"+' -|-B"(e*— i )"+'-!- etc.,
dont les coefficients numériques B', B", etc. seront par conséquent déterminés. Si l'on écrit Au à la place de e* — i,
et -, — h" a celle de //", on aura 1 équation -; — /«"= 1 i-i-A "m,
posée précédemment.
En faisant, pour abréger, e'' — i = a, et développant
a a= -}- - a^ — -r * + CtC.
suivant les puissances de a, par la méthode du n" 53, on obtiendra les valeurs de B', B", etc.
393. La formule du n" 382 se déduit aussi du théorème de Taylor, qui devient une formule d'interpolation, lorsqu'on y remplace les coefficients différentiels par leur expression en différences, tirée du numéro précédent.
En effet l'équation
-7-^ h' = A' u -\- A' A'+' u -h A" A'+' u -+- A'" A'+' u -T- etc., d^'
donne
-r-^ = -^ ( A' M + A' A'+' U + A" A'+^ u + etc.) . ûx' h' ^
Si l'on tirait successivement de cette équation les valeurs
de -^ — 5 - — , - — , etc., pour les substituer dans la série dx dx' d:r^
ûu h' d'il h" d'il h"
ii+-i h:T— , ^—-^ ô 4- etc.,
dx i d .r' 1 . 2 dx^ i .2.6
qui exprime ce que devient u lorsque x devient x + h' , on aurait un résultat de la forme
//' '' II' h'-\
B', B", B', , B", , B"', etc. étant, ainsi que A', A", etc., des coefficients numériques indépendants de h; et désignant par ^' u l'accroissement que reçoit la fonction u, dans le passage de x à x-{-h' , il viendrait
n -i- A' a = u -i- -j- ^ft -i- \^' Y ~^^" 11 ) ^' " ~^ ^'•^•
Cette équation devant avoir lieu, quel que soit u, subsiste encore dans le cas où m = e', et se change alors en
e''' = i -^ 'j- [e'' - x) -h (B'^+B"^ ) (e''— i)^ + etc.
dont on ramène, par le développement, le premier membre à la
mêmeforme que le second, en observanlquee'''= [i + (e''— i)]''; et comme en remettant dans le second, u, ^u, A'u, etc., à la place des quantités i, [e^ — i), [e'' — i)*, etc., on retombe sur le développement de u-h a' u, on doit en conclure que
Ce résultat, aussi sim]!le qu'élégant, a été présenté par Lagrange, comme une conséquence de l'analogie que les différences ont avec les puissances. En effet, il suit de l'équa-
du d M . h'
Il fi —
lione''"^ = I-}- A if (392) que e'^^ = (H- A«) ''; mais on a
aussi e"-^ = i -{- A' u : donc i -h ^' u=^ [i-{- Au) .
En développant le second membre de cette dernière équation, et transportant à la caractéristique A, les exposants des
puissances de mi, on trouvera, comme ci-dessus,
// li'ih'—h) , h'{h'-/,){h'-9.h]
A'« = -j-Mi^ ~-\ j-^ A= Il H ^ — - — ij^ A'« + etc. * .
h li.-2.li li.ili.ôli ^ '
Du Calcul inverse des différences, par rapport aux fonctions explicites d'une seule variable.
394. Le Calcul inverse des différences est, à l'égard du Calcul direct, ce qu'est le Calcul intégral, par rapport au Calcul différentiel : il a pour objet de remonter des différences aux fonctions primitives. Je m'occuperai d'abord des différences qui sont exprimées immédiatement par la variable indépendante, c'est-à-dire où l'on a pour déterminer u^ , une équation de la forme
l'accroissement de x étant constant et donné : je le représenterai à l'ordinaire par h.
Soit premièrement r= i, d'où Aw^=f(x) ; pour indiquer l'opération qui doit faire revenir de ^Uj-kui, on emploie la caractéristique 2, et l'on écrit en conséquence
les caractéristiques a et 2 indiquant des opérations contraires, qui se détruisent lorsqu'on les effectue l'une après l'autre sur la même fonction.
L'opération indiquée par le signe 2 s'appelle aussi intégralion; car ^i[x) désigne une véritable somme. En effet, si l'on ajoute les équations (i) du n° 375, il viendra
w„ =1= (Y -I- A a -h A f^i -4- A ;<j . . . -h A w„, ; et si l'on représente par a la première valeur de x, et par u
(*) Ces curieuses analogies des puissances avec les différences et les différentielles sont développées avec beaucoup d'étendue dans le 3* volume du Traite in-4"'. J'y ai indiqué plusieurs Mémoires insérés sur ce sujet, dans les Transactions philosophiques, ei quelques remarques de M. Herschel, dans l'Appendice qu'il a mis à la traduction qu'il a bien voulu faire, conjoinlemenl avec MM. Babbaçe et Peacock, de la 2^ édition du orésent Traité élémentaire.
celle de Ui, qui s'y rapporte, ou aura, pour une valeur quelconque o^- = « + nh,
lf(3-; = « + f(«)+f(rt-H/i)-hf(«-f-2/i ... + f[«-l-(/i — i;/i].
Celte expression, qui augmenterait de f{«-f-n/i) ou de ^[x], si l'on ajoutait h à la dernière valeur attribuée à x, et qui a par conséquent pour différence ^[^c), se compose ainsi de la somme de toutes les valeurs que prend f(^) depuis ûc=^a inclusivement jusqu'à :r = rt-T-(« — i)/i, plus de la première valeur de ii qui est indéterminée, et qui tient ici la place de la constante arbitraire que le passage de Ux à a»x a pu faire disparaître.
Pour revenir de A^«x=f(:i:) à ii^, il est évident cju'il faut effectuer autant d'intégrations qu'il y a eu de différenliations, ce qu'on indiquerait ainsi :
A chacune de ces opérations, il faudrait ajouter une nouvelle, constante, ce qu'on peut voir aussi en observant que l'équation yui^=[[x), ne donnant les différences de la fonction (lu'à conunencer de Tordre /', laisse indéterminées les /• (puuilités
et par conséquent les r premiers termes de l'expression
n n (n — i] u„ = u^-\u->, ^ iA=/<-hetc. 3/7,
au moyen de laquelle on passe de la valeur u relative à x^^a, à celle qui se rapporte à x=^ a -r- nh.
395. On voit donc qu'ici, comme pour les différentielles, l'intégration introduit un nombre de constantes arbitraires égal à l'exposant de l'ordre ; mais il y a cette différence, que les quaniités qui disparaissent quand on passe aux différentielles, sont absolument constantes , au lieu que, pour se détruire quand on prend les différences, il suffit qu'une quantité demeure la même lorsqu'on passe de xk x -^ /t: ei il en existe
Laliîox, Cale, ifijf.. 11. 3
de telles ; car il est visible que l'expression
