Lorsque î[x) est rationnelle et entière, l'expression

i:t des séries. 33

de Un, en se terminant, en donne l'integraie exacte. En effet, si m désigne l'ordre auquel les différences de cette fonction sont constantes (380), comme de A'"«, = f(^), il suit ^'"i[x)=^ ^r^"' 11^, et que cette dernière différence est constante, on a sur-le-champ

nln — I ) . . .{n — /■ — /» -h i ]

u. Ml, AUi, etc. répondant à ^ =:« ; et si l'on fait «-h /</< = jt-, M„ se changera en i/^.

En posant, pour abréger, {[x) = Vr, il viendra

Yn = V, Y+' U = .\V,. . ., V-*-'" H z= A'" V ;

n et ses différences jusqu'à l'ordre /— i inclusivement demeurent arbitraires, ainsi qu'on l'a déjà vu.

Soit pour exemple

A ifx = ^' — 5.T^ -\-6x — I ,

l'accroissement de a: étant i ; on aura /■=: i, /n = 3, /i= i, el si l'on suppose rt = o, on trouvera

f = — I, A (.'=2, A-f = — 4> AV = 6, A't^=io (380), d'où

const.

La formule générale de cet article comprend le cas dans lequel la valeur donnée pour au^ serait constante : on aurait alors A'u ou ^v^=o.

On voit immédiatement aussi que

ax -^ ah — nx a . ax

il n

donne, en intégrant le premier et le dernier membre,

ax la =z — — |- const..

d'où

398. Quoique la formule précédente suffise pour toutes les fonctions rationnelles et entières, il est à propos de faire connaître quelques autres expressions qui ont aussi des avantages qui leur sont propres; et pour commencer par celles qui sont les plus simples, je m'occuperai d'abord des produits composés de facteurs équidifférents.

Soit

K =z X [x ->- II) [x -^ili] . . . [ a: -h ( /?i — I V' ] '

si l'on en prend la différence, on obtiendra

^u=z [x -\-li)[x-{-ih)[x -T-'ih) . . .[x -{- mil ) — X [x -{- h) [x -^ "i h) . . .'[x -}- [m — i ) // ] =^[x -^ h) [x -r- "2. h] . . .\x -+- [m — i]1i\ mil ;

Cl comme î: — ,- = — ^ = — r ? on aura mil mil ma

l[x-hli) [x -i-2.il). . .[x-^{m — I; h]

X { X -{- II) ( X -^ 9. Il) . . . \ X -^- 'ni — I // ^

= — ^ '— ^ — '^ '■ -r- const.

mil

Si, pour ramener à m le nombre des facteurs affectés du signe -, on écrit maintenante: — h au lieu de x, et m-f-i au lieu de m, il viendra

lx[x-h h) [x -i-^li. . .[x -\-{rn — O^'l [x — II) X [x -h h) {x-\-2h). . .[x-h [m — i; // ]

On voit ici que dans l'intégrale, le nombre des facteurs surpasse de l'unité celui des facteurs de la différence, et que le diviseur est m -\- i , ce qui est bien analogue à la formule

rx"'dx=— (167).

On mtègre aussi la fraction

x[.T -{- h) [x -+-7./1). . .[x -i-[m — ï) h parce qu'en prenant la différence, on trouve

ah =

\x-\-h) [x-\-ih] [x-\-'ih)...[x-{-mh)

— mh X [x -\- h) [x -h 1 h) . . . [X -h mh) '

repassant aux intégrales et mettant pour u sa valeur, il vient

. [x-]- mh) " mh

mhx [x -\- h) [x -\- 1 h) . . .^x -\- [m — i ) A ] ' et si l'on écrit m — i au lieu de m, on obtiendra

X [x -\- h) [x -{- 7. h) . . .[x -{- [ni — i) h]

[m — 1) hx [x -i- h) [x -\- 2. h) . . .[x -^ [m — 2.) h]'

31)9. Les formules ci-dessus peuvent servir aussi à l'intégration des fonctions de la forme

A x'-"- + Bo:^ H- C JT'' -h etc.,

parce que ces fonctions se transforment en produits de facteurs dont les différences sont constantes. Pour le faire voir, je

choisis cet exemple irès-simple : ar% el je fais

x"- := [x -\- h) [x -\-ih) [x-\-Zh)

en supposant que Ji désigne l'accroissemenl de x. Si l'on développe, et qu'on ordonne suivant les puissances de x, on aura

x^ = x^-\-Gfix- ■+- 1 1 /i^x -f- 6/r' -i- kx- -h 2 A hx -ho. A h^ + B ^ + B A + C;

et comparant entre eux les termes affectés de la même puissance de X, on formera les équations

Il/j^-f- 3A/t -|-B=r o,

6//= + 2 Ah' 4- B // -^ C = o, desquelles on tirera

A=-6//, B=7//% C ==-/*% et

^•^ z=[x-i-fi) {x-]-o./i) {x-h3h] -~6h[x-hh) (.r-h?.A)

-i-']h'{x-hh] — h\

ce qui donnera, en vertu du numéro précédent,

Ix' = y-j X [x -h h] [x -+- ^.h) [x-h 3 h]

— 7.x [X -h h) [x -h 2. h] -h - hx[x-h h] — /i^x -+- const.,

puisque 2 — /<'= — A'si — — Ir-x (397).

400. Lorsque u^^x""^' et que m est un nombre entier, il vient

Ai( = X'" h +^- '—X"'-' h' H \- 'x—^h^

En intégrant terme à terme chaque membre de cette équation,

remettant dans le premier x'"-*-', au lieu de u, et passa^it hors du signe i les facteurs constants, on obtiendra

.r"-^' =: -— hlx'" + ^^ — h^lx"'-'

Cette équation ferait connaître l'intégrale 2^'", si l'on avait

ix"'-\ ix"'-\. . . ix", puisqu'on en tirerait

Si l'on écrit successivement dans celte dernière m— i, m — ■?., m— 3, etc., pour m, on aura des expressions de ix'"-', ix'"-\ ix'"-', etc., dépendantes seulement des intégrales des puissances de X qui leur seront respectivement inférieures. On peut aussi former ces valeurs en remontant ; et si l'on prend

d'abord m — o, il vient ix" =: jj comme dans le n" 397, parce

que la formule générale ne doit renfermer qu'un nombre ni de termes affectés du signe i.

Faisant ensuite ni = i, m = 2., /nr^rS, etc., et substituant successivement pour ix", ix^, ^x^, etc., les valeurs aux- (luelles on parviendra, on formera cette table :

Z X ^^^^ TT ~î" X' -\- 7: Xil ,

2^'^-T-j x'^ -\ x'^ Il ,

^ Il 2 2.2

1X*= --J x^ -i- - X^ h— TT— 7 xli\

— TT -î X^ -\ -r X* Il TT X^ ll^,