etc. -4- const

formule dans laquelle les coefficients exprimés en nombres méritent attention, parce qu'ils reviennent souvent dans la théorie des suites.

Je ferai observer, avant de finir cet article, que si l'on multiplie ix"" par h, et qu'on passe cet accroissement sous le signe 1, on aura l'équation

-•'"■*■' I , I nili^

-x"'li-{ x"-' — etc. -4- const. f

m H- I 2 22.3 dont le second membre a pour limite ■ !- const., lorsque

A s'évanouit, cas auquel 'ix'"h se change en fz'"Ax, d'après ce qu'on a vu dans le n" 236.

i02. Ce qui précède fournit le moyen d'intégrer toutes les

4 2 DES DIFFÉREXCES

fonctions algébriques, rationnelles et entières, oans le cas où la variable indépendante reçoit un accroissement constant. Soit pour exemple la fonction

en observant que

i(Ax' -^B.r^ -h Cx -hD) — Aix'- -h Bi,r' -^ Ci.T -j-Dix", et mettant pour ix\ ix\ ix et 2", leurs valeurs, on trouvera

l(A^^ H-B.r^-4- C-r + D) = A .r' - ^'^ ^' rr^^ x'

A//^— 2B/J+2C li/,^3C//-l-61) H , , X- H pr-j — — — ■ X -+- consf.

403. Dans l'intégration des fonctions transcendantes, je me bornerai aux fonctions exponentielles et circulaires. On a pour les premières

A.a^ = a^{a''— i), d'où il résulte

«^ = lô' [a'' — \) — [a''— I : la' et

V04. Pour les fonctions circulaires, on a : i" l'équation

cos A — cosB::= — 2 sin-i'A — B) sin -CA + B), qui donne A cosx = cos(.z--f- II) — cos.r^= — 2 sin - li sin ix -\- - h\-,

d'où l'on tire

A cos \x // 1

. , . , , Acos^ . \ 2

sm [x -\ — /m = ' et sin ^r = —

en écrivant x //, au lieu ùq x; prenant ensuite l'intégrale

de chaque membre de la dernière équation, on obtient

cos i.T //

2 sin a: = ^^ ■+ const.

2 sin- A

s**. L'équation

sin A — sinB = 2 sin-f A — B) cos -(A 4-B),

donne

A sin ^:= sin (x -h h) — sin.r = 2 sin -A cos i.v-v--h

d*où il suit

A sin i X //

I , \ A SHl X \ 2

cos X = ^

COS Lr + - A ) z=

?.sin- ■ 2 sin -A

sni

1 cos X = H- const.

2 sin - A

3". La conversion des puissances de sinus, de cosinus et de leurs produits, en fonction de sinus et de cosinus d'arcs multiples, ramènera aux deux formules précédentes l'intégration de la fonction générale sin x" cos .r", lorsque les exposants m et II seront des nombres entiers positifs.

En effet, cette fonction sera changée en une suite de termes de la forme A sin qx, ou A cos qx, dont les intégrales se déduiront de celles de A sin x et de A cos x en écrivant qx et çA, au lieu de x et de A; et il est facile de voir que l'on aura en général

C0s(/^-4-^^— ^fyA)

^ sin [p -+- qx) = — ■ -f- const.,

2 sin - qh 2 ■*

sin [p-\- qx qh \

1 cos {p H- qx) = ^^ '- '- -h const.

2 sin- qh 2 ^

403. L'utilité dont est l'expression de s m, pour la sommation des séries, a porté les Analystes à s'en occuper beaucoup, et ils sont parvenus à lui donner plusieurs formes très-élégantes: Euler la fit dépendre des coefficients différentiels de u et de l'intégrale fudx. On arrive à ce résultat en parlant de la formule

d z h d^ z h' d' z k àz =

qui donne

àz = - h-j— ^-i— 3 5 -H etc.,

d jf I d .rM . 2 d xM . 2 . i

h ûz //' d=2 lû à' z

I ÛX 1.1 ÛX' 1,2.5 <\X^

Si l'on fait ~ = u, il viendra r = fudx et dx

/ ndx=^ hiu-\- y.li'^ -i l-fî/i' 5: -j h etc.,

en représentant par a, p, y, etc. les coefficients numériques; on tirera de là

' /■ 1 j du . ,, d'?<

z« =T , r^d^ — x/ti-i ^h^'^-i etc.,

h -^ dx ' dx-"

, , du d- u

expression qui, par le changement de u en — ? -z — ^, etc., conduit aux suivantes :

du i j d- u , ,, d^ u