i- = -j H — 7.hi - — — è/t^i etc

dx h dx- dx^

d- u 1 d II , d^ u , , d* u

1 = — y. ni ■ — 6 /i^ z etc.

dx- h dx dx' ' dx'*

d^u i d^u , d' Il ^ ,, d^u i—-=j-— — oLhi'j~-ph'i'r—— etc.

dx^ Il dx- dx' dx''

etc. (*),

du d .lu

(*) On lorme aussi ces expressions en observant que S — = — , > ce

^ ^ dx dx

qui se prouve ainsi : on a d'abord d A u = Ad u , puisque

d^u — dli{Jc^}i) — {{x]]^[r{x-^h) — {'{x]]dx,

Adu = Af'(x)dx= [t'(jH-/<) — '''(^)]dx;

fl ensuite, si l'on pose Su = U, ce qui donne u = A U, il vient

du = dAU= AdU, d'où

ldu — l^dli = dV — dlu.

ET DES SÉKIES. 4^

avec lesquelles on éliminera successivement de la valeur de s M les fonctions

d u d- Il d' n

--r-» 2-^^, 2-—;, etc.; d jc d ^- d x^

01 il est aisé de voir que le résultat sera nécessairement de la forme

2// — - luAx 4- A« 4- BA -i hCA^ -; h (^tc.

La détermination des coefficients A, B, C, etc., s'opère ici comme dans le n° 301, par la considération de la fonction particulière e^, pour laquelle on trouve

Ic^ =r —, , / e'd:r = e', -, ~ e',

d'où il suit

-h A 4- BA + CA' H- etc.,

ce qui montre que les coefficients A, B, C, etc., ne sont autre chose que ceux qui multiplient les puissances de A dans le

développement de la fonction —j^ -, réduite en série ascendante par rapport à cette lettre. Si l'on met pour e'' — i sa valeur

- H h 5 -\- etc. 27 ,

il ne sera pas difficile de calculer au moins les premiers coefficients A, B, C, etc. : on trouvera

A — 1 B=^ — 1 C — o, D = , E — o, eic,

et par conséquent

lu = -=- aux u -\ -, ■ — ■ - — : ■+■ etc. ( .

(*) Tous les coefficients des puissances paires de h sont nuls; cela est prouvé, ainsi que la loi générale des autres, dans le Traité in-'|°, t. lU, [>. loG et suiv.

iOO. On obtiendra de la même manière et sans plus de difficulté les intégrales iiu, ou l'it, ii'u, ou l'u, et en général !'"«; car la formule

An, ^ fl'n+l 7. fl"'+' Z

(\x"' da:"'+' ' d^""^'

conduit à

z = h"' 1'" -^ -f- a /r-^^ I'" -^ ^ H- fi A"""' i" -7 — --; + etc.

Faisant ensuite -r— = u, on aura z — /"'i^dx'", et par conse-

OiX"*

q lient

i" ;< = -^ r™ a fl jr"' — a // S'" -i 3 /i^ I"» etc . ,

A""^ dx dx-

où l'on mettra successivement -r— î ^-^, etc., au heu ue u,

pour obtenir les valeurs

dx A'"-'' dx' dj;'

dj:' A""^ dx^ dx*

etc.,

à l'aide desquelles on chassera i'" ^i ""'T~2' ''^'^•' ^^- ' ^'^"

pression de ^J"u. L'équation finale pourra être représentée par

-+- ^ M -4- PA -; r Q A -T— „ — etc.;

(\x (IX-

et lorsqu'on fera u = e', elle deviendra

(e*— i)"' ~ F "^ A"— "*" A"— ^' A -hN + PA-T-QA'-f- etc:

ET DES SKIIIES. 47

les coefficients A, B,. . . , M, M, etc., sont donc encore ici ceux qui multiplient les puissances de h dans le développement

de -j—, r ; et de là résulte, entre les intégrales et les puis-

sances négatives, une analogie qui n'est que la continuation de celle que les différences ont avec les puissances positives, en sorte que l'on doit regarder les intégrales comme des différences d'un ordre dont l'exposant est négatif. 11 est visible, en effet, que, d'après ce qu'on vient de voir, on peut poser

pourvu qu'après le développement on change les puissan-

duP di'it . , d-Pu , ,

ces-, — - en -j — en observant que dans , = d-''uduP, d-'' dxf dxi' ^ dx~P

équivaut à '>, ou bien encore écrire

expressions qui se déduisent de celles de ^"'u (391), en affectant l'exposant ni du signe — (*).

407. L'intégration par parties se pratique sur les différences aussi bien que sur les différeniielles. Soient P et Q deux fonctions quelconques de x; on fera

iPQ = QlP 4-2, z étant une fonction inconnue de la même variable; et prenant

( *) On a de même, par le seul changement du signe de u, dans la l'ormulc

• /i* = [1 (i 4- ^) " ", l'expression des intégrales aux différentielles, savoir :

dx"

„ /"«da" = [l(i -^\)]~"u, en changeant \~' u en 2*«. Par là on obtient

quatre formules, qui se réduisent à deux, en ne déterminant pas le signe de it, ( Vo; . le Traite in~'i",l. III, p. loi.)

la différence de chaque membre de celle équation, on auia

PQ=:(Q-+- aQ)2(P + aP)-Q-P^ ^z:

développanl et réduisant, en observant que Q2AP=^PQ, il viendra

o = \Qi{V-^ ^V)-{- \z, ou A:: = — a02(P4- aP), et par conséquent

2 = — zaQ-(P + aP), puis (A) zPQ= QsP — 2AQ2(P + aP),

formule qui devient

(i) 2PQ=QsP-2aQ2P,,

lorsqu'on écrit P, pour P h- aP.

Si dans la formule (A) on change Q en aO, P en 2:P,, cl qu'on observe que

2P, + ASP. =:Z(P, + aP.) = :^P.,

on en déduira

iaQsP, = aQi^P, — SA^Qi'P,,

et la formule (i) deviendra

(2; -PQr=02P — aQi^P. -MA^Qi^P,.

Changeant ensuite dans l'équation (A), Q en A-0, P en i-V,, puis remarquant que

2'P, + AS'P, = i-P,,

on trouvera

lA^Qs'P, = A Qi^P, — iA^Qs^P,,

cl ia formule (2) deviendra

iPQzzrQ-P — aQz^P, + A=Qi^P,— SA'Q-'P,,

ce qui conduit à l'expression élégante

-PQ =z: QiP - AQi P, -f- A Qs p.

-■ A'Qi*p34- A'Q^'P^ — etc..

i:t di:s si:iiii:s. 4.0

donnée par Taylor, (huis les Transactions pliiloso/thiques, n" 353, année 17 17.

Si l'on y met pour P,, Pj, Pj, etc., leurs valeurs en P, ei qu'on elfeclue les intégrations (jui deviennent possibles, elle se fliango en

ïPQ = Qvp aO(i4» + iP) + y(}V\*^ivV^^iV) — Anj(iq»4-3^=P4-3^'P + ^Pj 4- etc.

C'est sous celle forme que (londorcet l'a présentée dans son Essai sur l'.ipplicdiion de l' hialyse à la probabilité îles décisions, page iG3.

Elle s'arrête toutes les lois que la fonction Q mène à des différences constantes dans un ordre quelconque; et si lj fonction P est susceptible d'un nombre suffisant d'intégrations successives, on parvient à l'intégrale exacte de la fonction PQ.

Application du calcul des différences à la sommation des suites.

i(!8. Dans une suite quelconque

le terme général a„ peut être regardé comme la différence de la fonction qui exprime la somme des termes qui le précèdent, en sorte ipie si l'on fait

a H- '/, -f- //,,..., -i- a,.-, = S,,-., , on aura

aS„, = //„ et S„, = lu,, (394).

Il suit de là que la somme entière, en y comprenant le terme général, sera

Un voit aussi que S„ résultant de S„, par le changement de n «n w -f- 1, l'expression de S„ peut se déduire de la même manière de celle de iu„.

Si donc f(j;) désigne le terme général d'une série quel-

Laluoix, Culc. di^'., \\, A

bo DES DIFFERENCES

conque, dans laquelle la différence de la variable indépendante soii h, la somme de celle série, que je représenterai par Sf(x), sera

Sf(x)= sf(,r) + f(a;),

ou bien s'obtiendra en mettant x-^ h au lieu de x, dans 2f(a:); et il ne faut pas manquer d'ajouter au résultat une constante arbitraire.

Lorsqu'on ne demande la somme de la suite que pour des valeurs entières de l'indice, la constante arbitraire étant alors une véritable constante (395), se détermine comme celle des intégrales aux différentielles. Si l'on fait commencer la suite au terme correspondant à l'indice .r = a, et que l'on ait en général

Sf(:r) = ^[^) -+- consl., il faut que

F(rt) + const. ^= f {«), d'où

const. = {[a] -Y [a) et S f(^) = F (x) - F(r/) + f («).

Si Ion arrête la suite au terme correspondant à l'indice X = rt -+- nh, il viendra

{[a)^{[a + h] +f(rt-H2A). . .-^î\^a + nli]

= F(rt-^«A)— F(a) 4-f(«),

ce qui se réduit à

ï[a + A ; + f (r/ + 2/i ) . . • -H f (rt -4- hAI = F [a + nli ) — Y [a],

et montre, comme on devait s'y attendre, que le terme f («) ne fait point partie de la somme Sf(^), prise entre les limites x = a et x = a-i-nh, mais que si l'on veut englober ce terme, il faut prendre la somme depuis a: =: « — A jusqu'à x = a-{- ?ih {*].

("^ Dans le texte, je me suis conformé à la notation adoptée par Euler^ (Voy. Instituliones Calculi dijferenlialis, vol. I, cap. 2, §§ 53 et 59.) Il donne à S le nom de terme soniniatoiic, et ne comprend point dans la quantité qu'il a dési-

409. Venons maintenant aux applications. On déduira des formules du n" 398,

S^(x + h) [x -t- ih). .. .[^+ [m — i)A]

X [x -\~ h) x{x -^ ih) . . . . (^ H- mh )

x{x + h) h[x + h) [x -^ [ni — i)h]

expressions au moyen desquelles on obtiendra les sommes des séries directes et inverses des nombres figurés (*). Pour les premières, dont les termes généraux sont

on fait A = I, et successivement m— i, /n= 2, etc.; il vient