I . 2 .38 — ; r- : = — : r + COUSt
etc.
En déterminant les constantes pour que les sommes partent du premier terme, qui est l'unité dans chaque série, on trouve les expressions
I x+i 2 [x + i) ix -A- 1)
■) etc.,
OUI, se réduisant a -•, -■> etc., lorsque x est n)iini, doinicnl
les limites des séries
I + y H 1 • • • H ; — r H- CIC,
etc.
410. En mettant x + h au lieu de x, dans l'expression de -x"" (iOlj, on obtiendra de même ^x'", c'est-à-dire la sonnnc des séries
Si l'on développe en particulier S.r% et qu'on fasse // = r, il
viendra, après les réductions,
Sx' = —
pour la somme de la suite des carrés i, 4, 9, . . , .v\ 411. On conclura des n"' 403, 404, que
Srt' = -; 1- const.
cos
S sin X = ^ H const.,
2 sin - Il
sin I .r H — h
S ros X = -^ '■ — - + const.
2 sin -h
Pour obtenir, jjar exemple, la somme delà série
sin «, siii(rt + A),.. , sin (a + «A),
il faudra prendre S sin x, depuis x = a — h jusqu'à x = a-\- nh (408), et il viendra
(•os(rt h\ — cos(rt+«A + -A I sin (a+-n/i jsin -i^«+i)A
2sin-/t sin - /i
L'expression générale de lu du n° 405, donne pour S« la formule générale
I ^ , I h (\u li^ d^ H
bu = -T uûx -\ — Il -\ ; 3 — - + etc. + const.,
II ^ 2 12 ux '■jlOÛX^
dont on trouvera plus loin (435] une application remarquable (*).
( * ) On tire aussi de là
, /^ I \ h' au h' d'u /udx = /j( lu -i u 1 ; i i — ; — etc. + coust
série qui peut remplacer avantageusement la formule (III) du n° 255, et dont on calculera la valeur entre les limites assignées à l'intégrale /udr.
Si Ton fait usage des signes indiqués dans la note du n° 23'2, u sera rem-
DES DIFFEKï:Xr.F.S
De l'intégration des équations aux différences à deux variables.
412. Jusqu'ici j'ai supposé que la différence de la fonction cherchée était donnée explicitement par la variable indépendante; je vais maintenant m'occuper des cas où l'on a seulement une équation contenant cette fonction, ses différences, la variable indépendante et son accroissement. Si la fonction >• dépend d'une variable x dont l'accroissement soit constant, l'équation proposée sera comprise dans la formule générale
F {x, y, A )•, A'r, etc.) = o,
Il est à propos d'observer que l'on peut en faire disparaître
placé par f(j-); a et tdésifjnant les limites de l'intégrale cherchée, /i 2f 'jr)-t-- f(x) «levicndra, par le n» 59'5 ,
// |r;«)-(-r(rtH-A) Hirrt-i-(n— i;//]-i-i[f(A) — If")]}
= • -^f(«) -<-i-(«-i-//) -,-f>-+-^i — i) fil -H ^ !■(/•')!'
ce qui n'est autre cliose que la première ligne de la formule (IH), n"^ 2')^ et 237, à quoi il faudra ajouter les termes fi' fi'
[f'.'J l'(„)-j^ îr'(h) — f"'U)]- CIC. -i-C0/i5/.
L'expression de S u est due à Euler, comme celles des n°^ 2ô0-ilôo ( V'oy. lusU tutiones Calculi dif/erentialis, pars II, cap. V, § 109, et Insl. CalcuJi inlegralis, vol.I, sect. I, cap. VII); celle de /udx se transforme utilem(?nt quand on y substitue, au lieu des coefficients différentiels, leurs râleurs en différences (392). Le résultat, comme ceux du n° ô88, peut s'appliquer aux fonctions dont on n'a pas l'expression analytique, mais seulement une suite de valeurs numériques. {Voy. le Traité in-40, t. 111, p. 182 etsuiv.}
On voit encore dans cette formule, comme à la fin du n° 401, que plus la dif-
(érence fi est petite, plus en général fiiw approche d'être égale à I "H-^", e."i
Ja
sorte que cette dernière est la limite de l'autre; mais cela snpj)Ose que le terni*
suivant — - uh n'est pas comparable au premier. ( Voy. la Nouvelle Théorie de
l'action capillaire, par M. Poisson, p. aSi, ou le 20* cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, p. i;j.)
M. Gauss, dansle t. HT, des Commentationes Societalis Gotlingensis recentiores, ann. i8i4-i8i5, a traité avec beaucoup d'étendue le même sujet, sur lequel M. Poisson est revenu dans le t. VI des Nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences,
i;t des sekies. ^j
les différences ■:^y, a )•, cic, en les remplaçant par les valeurs consécutives de y, puisqu'on a
Av = ^)-, — .r, y-r—}\— 2r, -h.>% etc. (377) ;
et le résultat prendra la forme
F {.V, r,r,, j-2, etc.) = o, dans ln(|uelle on voit que toute équation aux différences fait connaître la valeur de la fonction cheicliée, par le moyen d'un certain nombre de valeurs antécédentes.
Si l'équation était du premier ordre, par exemple, on aurait j'i, par le moyen de )'; si elle était du second, on en tirerait n, exprimé par j, et par )•, et ainsi de suite.
Il est facile de s'apercevoir qu'une équation quelconque aux différences équivaut à une série, dans laquelle on obtient chaque terme par le moyen de sa relation avec ceux qui le précèdent et avec l'indice qui marque le rang qu'il occupe. En effet, lorsqu'on a, par exemple, ^-2= f(^, j, j,), on en déduit rs = f (x4- h, ri, j\.), y'4 = f (-^ + a/t, j,, jj), etc., h désignant l'accroissement de a:, et l'on forme ainsi la série
X' X» T^' J" }'*> <?lc., au moyen de ses deux premiers termes.
Ce cas particulier suffit pour montrer que dcms la série résiiltp.nte d'une équation quelconque aux différences, il y aura toujours autant de termes arbitraires quil y a d' imités dans t exposant de l'ordre de cette équation.
il3. On peut changer toute équation aux différences en une équation différentielle d'un ordre infini, en substituant, au lieu de ^r, a'j-, etc., leurs développements d'après le n° 391; et il n'est pas moins évident que l'on convertirait aussi toute équation différentielle en une équation aux différences d'un ordre infini, en remplaçant les coefficients différentiels par leurs développements tirés de la formule du n° 392.
Il ne paraît pas que ces transformations, qui ont l'inconvénient d'introduire un nombre infini de termes, puissent être, en général, fort utiles pour l'intégration des équations; mais elles sont très-nropres à faire sentir ce qui distingue le Calcul
56 i>i:s i)iFFÉREX<:i:s
différentiel du Cnlrul aux différences. Elles prouvent que, pnr la nature de ce dernier, les différences de la variable indépendante doivent être nécessairement déterminées; car si l'on avait une équation entre
X, y, A.r, ^y, A-]-, etc.,
dans laquelle l'accroissement A.r demeurât indéterminé, f|u'(iii 1:1 développât suivant les puissances de ^x, Ar% A'r, etc., ce qui lui donnerait la forme
AA.r H-RAr )
-f- CAx- h- l)A.rA)--f- EA r- + Fa-)- - = o, -^ etc. )
on y pourrait substituer, au lieu de A)-, A'>% etc., leurs développements; et comme A^ y resterait encore indéterminé, il faudrait que les coefficients des diverses puissances de cet accroissement s'évanouissent d'eux-mêmes. On obtiendrait ainsi, entre les variables x, y et leurs différentielles, un nombre infini d'équations qui devraient s'accorder entre elles, pour que la proposée signifiât quelque chose; el, dans ce cas, elle ne serait équivalente qu'à la première de ces équations, dont les autres deviendraient les diffihenliclles successives.
En ne supposant l'équation aux différences que du premier ordre, ce qui la réduit à
AA5:-i-BA)-+-CAx=-t-DA.rAr4-EA}-=-hetC. =o.
et prenant
il vient
dy Sx d^ylx- dy ix^
Ar= -f h x^, H ^-h, o -^ etc.,
(IX I a^'i.2 ûx^i.-2.6
d^f ax I
) A.r / A^' + etc. r= o,
.1 dx^
d'où l'on lire
B -; h A =r o, E -^, -h D -j^- -^- (, H --i^ — o, otr
et si cette suite d'équations ne peut avoir lieu, la proposée no pourra se vérifier qu'en assignant à àx une valeur pariiculière.
414. Ces préliminaires posés, j'entre en matière par l'intégration de l'équation générale du premier degré et du premier ordre. Je suppose que la différence de la variable x, ou ^x, étant I, on ail l'équation A)'-|-P/=Q, analogue à l'équation différentielle traitée dans le n° 285; un procédé semblable à celui du numéro cité conduit à l'intégrale de la première.
Si l'on l'ail >■= uz, il viendra
re qui cbangera l'éciuation proposée en
iilz -h -:^ti -\- A /< A :: + P «; — O ; ei i)Osanl séparément
2A ?/ -! P«-3 — o, ou A//-t-Pif = 0,
il restera
ulz -f-Af/A- = 0,
d'où l'on tirera
el z.
H + \ll II -r- A «£
la question se réduit donc à intégrer l'équalion
dans laquelle on peut séparer les variables, en lui donnant la
forme — = — P, puisque u
Soit u z=i e'; il en résultera
forme — = — P, puisque P est suppose ne contenir que x.
Mi=r.e'[e^'-x) et ^=^A'i = -P,
('.'où l'on tirera
Mais la .somme de.s logarithmes de la fonrlion i — P répond au produit continuel des valeurs successives que reçoit i— P entre les limites de l'intégrale, c'est-à-dire à
si l'on désigne ce produit par [i — P;r,], l'exposant jr marquant le nombre des facteurs, on atu-a
d'où l'un conclura
« = e' = [i-P,,]; et si l'on fait attention que n -^- Au = ?/, , on obtiendra
u-hAu=[i — Px] et z = ^- — ^:TT'
ce qui donnera enfin
la cuiislanle arbitraire étant comprise dans l'intégrale indi- (juée.
C'est à peu près ainsi que Lagrange, qui le premier fit voir l'analogie que les équations aux différences du premier degré ont avec les équations différentielles du même degré, a intégré, en 1761, réquation traitée ci-dessus; il applique ensuite son résultat à l'équation Vi = RjrH-Q, qui revient à r-t- Aj'=: Rj'-i- Q. En comparant cette dernière avec A/-Î- Pj"~- Q, on a P = I — R, i — P = R, et par conséquent
Quoique. le développement du produit [i — P^,] semble
ET DES SERIES. 5c)
supposer que la différence de ^- soit égale à l'uniié, on peut néanmoins conserver l'expression précédente, lorsque Sx = /i, en concevant qu'elle répond à
j — P,/,) (i — ÎV-../0 (i — Px-./,) etc.,
ou bien transformer l'équation proposée en une autre, en faisant X — lix', ce qui donnerait A.r = /ia.t' et Sx' — i. Lorsque le coefficient R est constant, on a
et s'il en est de même de O, l'intégration indiquée s'effectue facilement : on obtient dans ce cas
v 0-^o.R-.-,QR— ' Q ,4031
et
const.
En général, la valeur de j' pourra être délivrée du signe d'intégration toutes les fois que Q sera une fonction rationnelle et entière de x.
415. C'est la méthode donnée par d'Alembert, pour les équations différentielles du premier degré, et dont j'ai fait connaître l'esprit (320), que Lagrange a d'abord appliquée aux équations de ce degré et d'un ordre quelconque aux différences; mais j'emploierai ici le procédé par lequel il est revenu sur ce sujet en 1775, et que j'ai déjà exposé, d'après lui, pour les équations différentielles.
Premièrement, la valeur complète de j x satisfaisant à l'équation
(A) yx+n + Px y'x+u-x -H Qx jx+H-2 . . . -i- Ux y\ ~ o,
d'un ordre quelconque et du premier degré par rapport à la fonction jx, s'obtient comme celle de jdans le n° 309, lorsqu'on en connaît un nombre n de valeurs particulières; car il est clair que si
Go DES DIFFKHEXCES
sont des fonctions de .r qui satisfassent sépcirémeni à l'rqiiation (A), l'expression
Vx = y- y X + y^' y x -f- '- y x -f ■ etc.
y satisfera pareillement, sans détermination des constantes C, C", G'", etc. ; et quand le nombre de ses termes, supposés absolument irréductibles entre eux, sera n, elle sera l'intégrale complète de cette équation, puisqu'elle renfermera n constantes arbitraires.
Secondement, l'équation
qui a, de plus que la précédente, un second membre dépendant de X seul, s'y ramène de même que dans le n" 31i, en regardant les constantes C, C", C", etc. comme des fonctions de X. Dans cette bypotlièse, l'expression
y, = C'x y 'x + C'x y"x + 0". y"'x ^- etc.
conduit d'abord à
ri „.' i C" »/' 1 C" t"' i ptr>
résultat qui se transforme en
;,-,+, = €'./.+, -h C"xy"x+. -f- C"'.y".H-. +etc. + ^i^+. aC'. + /V.aC". 4-^7-"'x+.aC"',h- etc.,
en mettant pour €%+, , C"^+, , etc., leurs valeurs
C'x + aC'., C"x + AC",,etc.,
et se réduit à
j,+. = C'x 7 'x+; H- C"xj-"x+, + C"'x^>'"x+, H- etc., lorsqu'on pose (i;: ^) 'x+, A C'x 4- y•"x+^ A C". -f- r"W, a C", -h etc. = o,
de même que si les quantités C'x , C"x , C'"x, etc. fussent demeurées constantes. En faisant de nouveau varier :r, on obtiendra
7w. = C'x+, 7 'x+. -+- C"x4-> y"x^. + C'"x+, y"'x,.. + etc. = C'x/x+. + C"x/W-. -H C'"x/"x+. +etc.
