Qx^'-x

■ -|-QxJ^+„-.

etc.,

il restera

( // ) )-'.-^„ A C. 4- >^'x+„ A C". + y'x-^n A C". + etc. = \x

On conçoit facilement qu'avec le secours des équations (i), [i],...[ii — i), (rt), on déterminera en fonctions de x, les différences aC'x, aCj-, aC'^, etc. , ce qui réduira la recherche des quantités C, G", t'", etc., à l'intégration des fonctions d'une seule variable.

416. On ne sait pas intégrer en général l'équation (A) ; mais lorsque ses coefficients, au lieu d'être des fonctions de x, sont des constantes, que l'on a seulement

on y satisfait en faisant 7 .t=: m'', d'où il résulte

7 Wi = m"^' , r^+^ = '"'^'' • • • ' J ■'-•-" = '"'^" '

car elle devient

(A") m" -4- P m"-' -h Q ni"— -^ R 7;?"-^ . . -h U = o,

et se vérifie si l'on prend pour l'indéterminée i» les racines de cette dernière. Si donc l'on désigne par m', m", m'", etc. ces diverses racines, on aura (numéro précédent)

r, = C /»'■' -^ Cm"' + Cm'"' +

Cette expression présente, par rapport aux quantités m', m", m"\ etc., les mêmes circonstances que l'intégrale de l'équalion différentielle

II peut arriver que parmi les racines de l'équation (A"), il s'en trouve d'imaginaires ou d'égales entre elles. Dans le premier cas, on revient aux quantités réelles par des transformalions analogues à celle du n° 310. Dans le second cas, pour rendre complète l'intégrale qui a cessé de l'être, on a recours à l'artifice employé dans le n" 311.

417. L'équation (A'), pouvant être considérée comme exprimant la nature d'une série dont un terme quelconque, représenté par jx+„, dépend des n termes qui le précèdent, se rapporte aux séries récurrentes [Complém. des Élém. d'Jlg.) dont le terme général est n, et dont l'échelle de relation est

L'intégration de cette équation répond donc à la recherche du terme général de la suite proposée ; mais en n'ayant égard qu'à

ET DKS SÉRIES. 63

la loi de sa formation, les n premiers termes de cette suite sont nécessairement arbitraires; et si on les suppose donnés, en les désignant par

on pourra former les équations

+ etc.,