C'ni

-f- etc.,

-h Cm""

+ etc..

-h Cm'"--

-+■ etc.,

j-„, = c /«'"-' -t- C" /»""-' + C" m'""-' -H etc.,

au moyen desquelles on déterminera les constantes (7, C", C", . . . dont le nombre est aussi égal à ;/. La résolution de ces équations, qui ne sont d'ailleurs que du premier degré, peut être simplifiée par des artifices dont l'exposition ne saurait entrer dans un Traité élémentaire : je me bornerai à faire observer ici que cette recherche se lie avec celle des lois des pliénomènes, d'après les observations. M. Libri a fait aussi aux équations linéaires aux différences l'application de la méthode indiquée plus haut pour les différentielles.

418. Les constantes arbitraires qui complètent les intégrales aux différences, étant des fonctions arbitraires (395 j, ne peuvent être déterminées en assujettissant ces intégrales à satisfaire à un nombre limité de valeurs données; car il est visible que toute fonction arbitraire comprend implicitement un nombre infini de valeurs arbitraires. Soit pour exemple l'équation

jx = X&(sin 27r^, cos^.TT^),

de laquelle on doive tirer un certain nombre de valeurs

Xo = fi, |-, = «', )-, = a", et-c.

Si ces valeurs répondent à

X = o, a- = i, ,r = 2, etc.,

on ne pourra satisfaire en général qu'à la première des condi-

G.\ Di:s i)iffÉrexci:s

lions imposées; car dès qu'on aura assigné pour

'j (sin -y.Tzx, cos2îT^),

une première valeur déterminée, de laquelle il résulte )o= ", cette valeur devant se retrouver la même pour les indices jc = i,^-:=2, etc., il s'ensuit que les valeurs de jj relatives à ces indices, sont aussi déterminées : il faut donc que les quan tilés données a', a", etc., correspondent à des indices intermédiaires.

Si, au lieu d'assigner un nombre limité de valeurs isolées, indépendantes les unes des autres, on suppose que dans l'intervalle compris entre ^ =o et x=i, l'expression j^ doive iournir les mêmes valeurs qu'une équation donnée y^^i'la:'), la question sera déterminée. En effet, s'il s'agissait de trouver la valeur de j qui correspond à un indice égal à un nombre entier quelconque m, plus une fraction n, soit commensurable, soit incommensurable, on calculerait la valeur de )■„, d'après l'équation ,7V= f{-^) ; etcomparantle résultatavec celui <iue donne alors l'équation

1 •„ r=r X„ o ( si n 2 TT // , cos iTiu),

on aurait, pour ce cas, la valeur de

©(sin 17:11, fosiTin),

(jui doit être la même que celle de

■3 [ sin 2 77 ( m -h /i ) , cos 2 - ( /« -\- n]^,

m étant un nombre entier : l'équation

r^ = Xo(sin 2ïr;c, cos 277 .r)

devenant par là

j-„,^„z^\,„^^o[s\ni- n, cos277«),

serait tout à fait déterminée.

La seule condition à laquelle soit assujettie l'équation )j;= f(-^), c'est qu'on en tire pour Vo et pour r, les mêmes va leurs que de l'équation

Vx = \'f sin 2t:x, cos 271 :i).

419. Les considérations géométriques éclaircissent bien ce qui précède. Voici d'abord comment on peut représenter par le cours d'une ligne, l'équation très-simple Aj = o. Si l'on construit, sur la droite AR {Jîg.65), menée à une distance quelconque de l'axe des abscisses OX, parallèlement à cet axe, et divisée en parties A A', A'A", A" A'", etc., égales à A^, des courbes telles que

ABA'B'A"B"A'"S, ACA'C'A"C"A"' T, ADA'D'A"D"A"'U, etc.,

passant par les points A, A', A", A'", et composées, entre ces points, départies égales et semblables, ces courbes satisferont à l'équation Ar=zo. Cela est d'abord évident pour les points A, A', A", A'", etc. ; et l'on voit ensuite que, prenant AP = X, AP' = x- + A X, les arcs

AL et A'L', AM et A' M', AN et A'N', etc.,

étant égaux et semblables, les ordonnées

LP et L'P', MP et M'P', NP et NT', etc.,

seront aussi respectivement égales, et l'on aura par conséquent pour chaque courbe, Aj=o.

La condition A;^=:o n'entraînant point la continuité dans les résultats, les courbes AS, AT, AU, etc., ne seront point assujetties à cette loi. Le polygone EFE'F'E"F"E"'V, composé de parties semblables EFE', E'F'E", etc., donne également A>-= o,aux intervalles marqués par A)-; il en serait de même d'une suite d'arcs égaux et semblables d'une courbe quelconque, assemblés d'une manière discontinue, comme le sont les arcs GH, G'H', G" H", etc.

Il est visible que l'équation r = & sin r cos — '- — 1 donne

^ ^ -^ '\ Ax àx J

lieu à des lignes qui satisfont aux conditions ci-dessus.

420. Passons maintenant à l'équation générale du premier ordre a >•= F (x, j). Ayant choisi arbitrairement, ou déterminé, suivantles conditions de la question, le premier point B {Jig.66) de la courbe cherchée, comme l'équation proposée n'apprend rien sur tous les points correspondants à la portion d'abscisse

Lacroix , Cale, dijf., II. 5

AA' — Ax, et qu'elle donne seulement l'ordonnée A'B'=j,, on pourra faire passer par les points B et B' une portion d'une courbe quelconque. Cela fall, pour obtenir la portion correspondante à l'abscisse A'A", on prendra en arrière d'un point quelconque P' de cette abscisse, une dislance PP' = AA' = ^x, et élevant l'ordonnée PM, on mènera MD' parallèle à PP' ; tirant ensuite de l'équation Aj= F [x, j) la valeur de A j pour l'abscisse AP, celte valeur donnera la droite D'M' qui, jointe à P'D' = PM, fera connaître le point ]\r. On trouvera de même tous les poinls de l'arc B'B"; cet arc, employé à son tour comme l'arc BB', donnera ceux du troisième arc B" B'", et ainsi de suite.

Il est évident que l'on pourrait, par le même procédé, continuer la courbe en arrière du point A, et que dans tous les cas elle satisfera à l'équation proposée, puisque les différences Aj=i:D'M' auront des valeurs conclues de cette équation : je laisse au lecteur à faire l'application de ce procédé aux équations du second ordre et des ordres supérieurs.

421. On n'a considéré ici les équations aux différences que dans riiypotbèse de A :r = const. ; mais lorsqu'on suppose celte dernière différence variable, le sujet prend beaucoup d'étendue, ainsi qu'on s'en pourra convaincre par la question suivante :

Trouver une fonction inconnue «p (x) de\, telle que si Von y chcmge x en f (x), puis en F(x), F et [désignant des fonctions données, les expressions correspondantes «p[f(x)j, o[F(^)], aient entre elles une relation donnée.

Laplace a, par un procédé fort simple, ramené ce genre de problèmes à des équations aux différences où la variable indépendante ne reçoit que des accroissements constants. Pour cela il posef(x) = m^, F(ar] = M;^.,, m^ représentant une fonction inconnue de la variable 2 ; et si l'on peut résoudre, par rapport à :r , la première de ces équations, on en tirera .r = f,( «.), valeur qui transformera F (^) =:«.+, en ^^,^., =:F[f,{M,)] , équation aux différences où la variable z croît seulement de l'unité. Lorsqu'on saura intégrer celte équation, on aura l'expression de «^ en fonction de ^ ; on ob-

ET DES SÉRIES. Ôj

tiendra aussi ^ en fonction de z; les fonctions <î'[F{x)] et «p[f(^)] deviendront respectivement tf[u,+,), <f{u.], et on pourra les représenter par j;+, , jz , ce qui changera en une équation aux différences de la forme

la relation donnée entre les deux états par lesquels doit passer la fonction «p.

Je prendrai pour exemple l'équation

pour laquelle :r =1 z<; , 2^ = «-4.,. De là, on conclut aisément i^;4-i = 2?/;, équation dont l'intégrale estM: = C.2= (414).

Posant ensuite o{x) =^2, vl^-^) =Xz+i, l'équation proposée devient

et s'intègre en y faisant d'abord

ce qui conduit à

La dernière de ces valeurs est l'intégrale complète, puisqu'elle renferme une quantité arbitraire a; et l'équation C. 2' = ^,

donnant 2=-' =:= -7=; 5 on aura 2L

résultat qui revient à

si l'on pose b =a^^.

<58 DES DIFFÉREXCES

II faut remarquer que les conslanies a et C sont des fonctions qui ne changent pas quand z devient z -h i (395), et par conséquent lorsque x devient ix.

422. Combinant toujours chaque nouveau point de vue sous lequel les grandeurs peuvent être envisagées, avec les précédents, les Analystes considèrent encore des relations entre les différences et les coefficients différentiels des fonctions inconnues; et de là naît le Calcul aux différences mêlées.

Les équations

dr ,

dans lesquelles a, b, c désignent des constantes, et oùA^= i, sont les plus simples de ce genre. On satisfait à toutes les deux en posant y=^ Ce"'': la première se change en

m -^ a[ e'" — \]-{-bz=o, et la seconde en

m ( e" — 1 ) + ain -i- b [e'" — i ] 4- c =^ o.

La discussion de ces transformées et l'examen de la nature et de l'étendue des intégrales qui en résultent, sortent des limites que j'ai dû me prescrire ; je n'ai voulu seulement que marquer la place de ces nouvelles recherches (*).

Application du calcul intégral à la théorie des suites.