X H -r xK . .H ^ X" -+- etc

«-f- 6 la-i- b lia ^

la série proposée; on multipliera par /^x*" les deux membres de l'équation

a-l-S 2a-L-.8 , na-f-S

o ■ . «-*' I . *A/ • • • ; . vv ^

et passant ensuite aux différentielles, on aura

,, , p(i-4-r) (5c-f-S]^'"d^ p(/^-t-r)(/^a-^ 8'!^"+'•-'d^• »d [SX') =-^--> '-^ T^ . . .-^^ '-^ '- ,

' "^ ' a -\- b na-h b

Le facteur Jia + b disparaîtra du dénominateur du terme général, et par conséquent de tous les autres, si, quelle que soit n, on a p[n-\-r) =^ na ~- b : on fera donc 7ip = na, rp = b, d'où

b pz:=a, r=-5

ce qui donnera l'équation

Ax \ i J \ r I , , I >

dont le second membre ne renferme plus de dénominateurs. De nouvelles opérations, semblables à la précédente, feraient disparaître les facteurs qui resteraient, si le dénominateur en contenait plus d'un.

( *) Yox- la note de la page 53.

En multipliant la même équation par px'dx, et prenant ensuite l'intégrale de chaque terme, il viendra

pafx''&\sx

n-\ Hr

a-\- b-h ra ' ' ' na-\-b-\- ra

le facteur na-f-3 du numérateur disparaîtra si l'on fait

npa y. = Jia, ^pa = b -r- ra, d'où il suit

et par conséquent

On tire de là

"AXsx^h^x''-

'Itr-.

42i. Dans la série que j'ai considérée ci-dessus, le nombre des facteurs, soit du numérateur, soit du dénominateur, était le même pour chaque terme; mais il est une classe de séries qu'Euler désigne sous le nom dliyyergéométriques , dans laquelle ce nombre augmente d'un terme à l'autre : la série

b){:ta-hb]