SI
est de cette classe. On va voir que leur sommation se ramène à l'intégration d'une équation différentielle. En multipliant les deux membres de l'équation ci-dessus
par/^.r'", ei prenant leurs différentielles, on obtiendra
dx {a-}-- b)
^ /^(Ai + r)(a + p)...(na + p) ^„^^, (rt-i-6).. .(na-i-6)
On fera disparaître le facteur na + 6 du dénominateur, en posant
np -h rp = na ■+- b, d'où
np = na, rp = b,
( - « d V sa:"
(a4-P)...(/la+P) ^,,^^:
'^' [a-^b)...[[n—i)a-hb]
En multipliant ce résultat parp^% et prenant l'intégrale de chacun des membres, on trouvera l'équation
a-i- b-i-ra
na fx'(\\sx j — ,
[na -h b -^ ra) [a ->r b) . . .[[n ~ \)a -r- b] et le facteur nv. -i- p disparaîtra du numérateur, si npa en. -{- pafj = na -h b -^ ra,
ou Si
Mettant ensuite à part, dans le second membre, le facteur
commun x'^- , il viendra
x"- " d \ SX"
(a -h 6) . . .[(/i— i)rt H- 6] i'
La série comprise entre les accolades du second membre de ce résultai n'est autre chose que la proposée dont on a ôté le dernier terme*, et à laquelle on a ajouté l'unité : on conclura donc de ce qui précède,
En différentiant cette équation, on la délivrera de l'intégration indiquée dans le premier membre, et l'on obtiendra l'équation d'où dépend la somme cherchée.
Cet exemple montre comment on opérerait sur d'autres cas plus compliqués de la classe des séries dont il fait partie, en observant que chaque différentiation offre le moyen de faire disparaître un facteur du dénominateur, el chaque intégration un facteur du numérateur.
425. Si l'on faisait abstraction du dernier terme, on aurait, au lieu de la somme particulière , la limite de la série considérée à l'infini, ou la fonction génératrice de cette série ; car il est visible que les procédés ci-dessus sont inverses de ceux par lesquels on détermine les séries qui satisfont à des équations différentielles données.
S'il s'agissait, par exemple, de trouver la limite de la série
s = i X — 1 . 2 jr- -f- i . 2 . 3 jc^ — etc. ,
on pourrait appliquer à cette détermination la première transformation du numéro précédent, en faisant
mais on y parviendra immédiatement en multipliant par x les deux membres de l'équation posée plus haut, et en les différentiant ensuite. On obtiendra de celte manière
SX = ix^ — 1 .2;r'' + 1 .2. 3x' — etc., d (sx)
ûx
= T .2x — r . 2 . 3,r--^- 1 . 2.3 .4 ;r' — etc. ;
et mulliplinnl la dernière équation par x, elle deviendra
X —) :=z l .2X- — I . 2 . i .r^ H- I . 2 . :> . 4 .X — ClC. :
dont le second membre est évidemment égala ^— s; ainsi
l'on aura
xd(sx]
ax
ou
, s(x -{-i) , âx
L'intégrale de cette dernière est
s==- je ^d:r (285]
Pour que l'expression ci-dessus réponde à la série proposée, il faut que l'intégrale s'évanouisse lorsque x^=.o; et si on la prend jusqu'à x= i, on aura la quantité correspondante à la série divergente
I — 1 .2 + 1 .2.3 — 1 .2.3.4 -f- 6tc.
426. Les intégrales définies fournissent aussi le moyen de représenter des portions de la série
ûu h d'?f 7/2
W + -7— r -j — • h etc.,
a.r 1 ûx^ 1.2
en partant d'un terme quelconque. Voici comment d'Alembert y parvient, et démontre en même temps le théorème de Taylor [Recherches sur différents points importants du sjstème du monde, tome I, page 5o) :
Soit u' ce que devient la fonction u, lorsqu'on y change x en X -^ h\ en posant
u' =z: ii + P,
et différentiant par rapport à h, qui n'entre pas dans u, il vient
ûu' dP
= -^ , d'où P
d A ûh
fdu' ,, .1 dX^^^'
J dn
Ensuite comme -py- = -. — (89 ) , et que -3 — = -; h V,
d/i" dx" ^ ^ ^ d^c" d^"
V désignant une quantité qui s'évanouit avec h, on peut faire
dTT "" d^ "^ ^ '
en différentianl de nouveau par rapport à h, on a
à'u' dO „ , ^ rd=«' , , d/t^ dA J d/t-
d;/ du rA'u' ,, rd«' ,, d ?< // C C^'u ,, dT^d^+j^^^^'' jdX^^^^IÛT-^jj dÂ^^^'''
d u h r rû' u' , , "="+d^7-^jJTA^^^''
Posant encore
dVi/ d^ dÂ^ ~ d^ "~ '
on trouve
d^«' dR ,, , p fd^A^' ,, d7^ = dÂ' ^^^^^ ^=j dTF^^''
d -^/ dVf< fd^f/ , d7?~'d;^"^j TF '
d:?: I (Ix^ 1.1 J J J d't En continuant ainsi, on arriverait à
+ -y — 7-, ( ^ + / -:ri^ d A" ,
les intégrales étant prises de manière à s'évanouir lorsque A =-- o, parce que u' redevient u.
