Soit, pour abréger, -yj^ ~ H; on aura

/"Ud/i" = '-, ^^ j h''-'rîldh - (»-0^^"~' y H A d //

■' 1 .1. . .[fi— i) i ^ I -^

4 \ a [ JH 11" dh — etc. ) -,

et il est facile de voir qu'on peut substituer à la série ci-dessus l'expression

] : fU{t-/l )"-' d h,

prise depuis // = o, pourvu qu'on change après l'intégration / en h ; car si l'on développe cette expression, qu'on passe hors du signe / les puissances de t qui multiplient les différents termes, et qu'on fasse ensuite t = h, on retombera sur la série proposée.

Il suit de là que

Ax i dx- 1.9. ' dx"~' I.?. .

pourvu qu'on prenne l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse lorsque h — o, et qu'on change ensuite t en h.

/.Il (!""' d"u' On peut dans cette formule remplacer —.y par —,—;:'■, et si

l'on fait, sous le signe intégral, t — li^=zt, ou h = t [i — z), on aura

Les limites de l'intégrale seront alors z = i, s = o; on la ren dra positive, en renversant l'ordre de ces limites, c'est-à-dire en la prenant depuis 2 = jusqu'à z = i : enfin, sortant t" du signe /, et écrivant h au lieu de /, le dernier terme de la

formule ci-dessus deviendra

.1. . An — I / Q.X"

C'est Lagrange qui a donné ce dernier ihéorème, mois d'une autre manière, dans la Théorie des fonctions analytiques , 2* édit., n°= 35 et suivants.

II s'en sert pour prouver qu'on peut toujours rendre la

somme de tous les termes de la série de Tavlor, à partir d'un

terme donné, plus petite que le précédent. Soient M et m la

d" u' plus grande et la plus petite des valeurs que prend -7—7' dans

l'intervalle de x à ^ H-A; on aura

Ç%^ -— d 3 < M/2"- dz et > mfz^'-^àz,

d" u' si le coefficient différentiel -, — ne change point de sisine ou

ûx"

ne devient point infini dans cet intervalle ^234). Entre les

,, . , , , , j .< . , , M wi

limites données, les deux dernières intégrales sont — et— :

et en prenant h d'une petitesse convenable, on rendra la

quantité M aussi petite qu'on voudra, vis-à-vis de