Une transformation de l'équation

/ r x-'ûx \ f rx^'-^'Ax\ I rr

conduit à la valeur de l'intégrale fe~~^'dt, prise entre les limites t = o, t=: infini, qui se présente dans plusieurs recherches très-curieuses.

Si l'on fait x = e~'''', l'équation précédente se change en

y , e-^9'- ) ( / VI —e-^1'

posant ensuite q[2r-~- i) = i , et mettant dans le second membre la valeur de a/- h- i, tous les deux deviennent divisibles par q ; puis divisant sous les radicaux par Q.q, on obtient

et comme la limite de , lorsqu'on y fait ^ = o, est V,

l'équation précédente se réduit alors à

i\fe-''dt\'=-, d'où fe-'''(it = ±'-\/^-

Mais t est infini quand a::=o, et nul quand ce = i : les limites de cette dernière intégrale sont donc l'infini et o ; et comme la fonction e~' est toujours positive, il s'ensuit que le signe supérieur répond aux limites o et l'infini positif, et que l'intégrale se double quand on la prend depuis t = — infini jusqu'à t = -i- infini : sa valeur est donc alors v^tt.