Laplace, considérant encore l'expression/e t^dt,h

met sous la forme fl" '" e~' V" d t, pour l'intégrer par parties, ce qui donne

fe-' i"dt = \e ' t — n-m]fe ' t d/ .

Tant que l'exposant n — m est positif, la partie délivrée du

signe /s'évanouit entre les limites ; — o et ^= infini (99), et

il reste

,"'+1 , n — m f, ,"'+! n—m—\ ,^ Te-' V'dtzzz fe ' t dt,

la seconde intégrale étant prise entre les mêmes limites que la première.

Si l'on fait m = i, on aura

fe-'''fdt = '^-^ re-''-f"-'dt.

8o DES DIFFÉREXrES

et en répétant celle réduction, on obtiendra

r —t' 1 . i " — ('^ — 3). . .{il — 2 /'-h- l) . ,.

résultatquis'évanouitpar son coefficient quand ?i=: ir — i [*]. et qui, lorsque /i = 2 r, donne

Il est d'ailleurs à propos d'observer aussi qu'en posant e~ = ^, on a

/e-''""'/«d/=: ^/d^fl-)

ni-r-l

les limites de x sont alors i et o, et si l'on en change l'ordre, il faudra supprimer le signe — .

En posant w=i, n^o, on aura

re-''-dt = -fdx(\-] ^ =~ V Ç- •^ 2 -^ \ ^ / 2

431. Je vais encore rapporter l'évaluation de quelques autres intégrales qui présentent des conséquences curieuses; je commencerai parcelle de fe^"'^' ùx cos rx, entre les limites a: = et ^ = infini, due à Laplace et remarquable par le procédé employé pour l'obtenir.

En posant

Je~"''^ d X cos rx = y,

et différenliant par rapport à r (281), on en tire

-~= — le "" -^ xdxsiwrx;

(*) Uinlégrale^e""' i"àt prise entre les limites r=:o, / = oo ne peut évidemment jamais être nulle, puisque tous ses éléments sont positifs. Dans le cas de n = 2;- — I, le facteur numérique de l'expression obtenue par Lacroix se réduit bien à zéro, mais l'autre facteur, savoir Jc~'' t'^~^''dt , devient infini.

puis en iniégrani par parties , relalivemenl au facteur e~'^ ^ xûx, on trouve

dr e

■j- = — sin IX Ce "'■'' dx cos rx,

ce qui revient à

dr r dy r

-j— = ; r, ou -p — 1 r = o,

dr o.a"' dr a.a"^ '

lorsqu'on suppose x infini dans la partie délivrée du signe f.

L'équation ci-dessus, entre les variables / et /-, a pour intégrale

r=Ce ^"^ (285),

C étant une constante arbitraire qu'on détermine par la valeur que prend j lorsque rz= o, savoir :

Par ce moyeU; on trouve

Ce '^'^ d X cos rx = — ^ •

^ ia

Ici se montre un nouvel artifice d'analyse, qui consiste à former, entre les intégrales et quelques-unes des constantes qu'elles contiennent, des équations différentielles que l'on puisse intégrer. Ce procédé, et des transformations très-variées et très-ingénieuses, ont considérablement multiplié, dans les recherches de MM. Laplace, Legendre, Poisson, Georges Bidone et Cauchy, les déterminations des intégrales définies, dont Euler avait déjà montré de beaux et nombreux exemples; mais il reste encore à désirer une méthode uniforme qui réunisse en un seul corps toutes ces recherches, au progrès desquelles paraît attaché maintenant celui de plusieurs branches importantes de la Physique mathématique.