I ., , étant -tt, il s ensuit
dt cos mt.
Il faut cependant excepter de ce résultat le premier terme de la série ci-dessus, pour lequel n=^o donne seulement
/ ([t)dtz= ao dtz=aoTT,
ET DES SÉKIES. 97
d'où
^ Jo
II résulte de là que
i 2 rcosx/f(/)dicos/4- cos 2a:y {' t)dt cos^i. . .'I ( -L H-cos w:c/f (/]d^cosm;-f- elc.J '
les intégrations étant effectuées entre les limites o et -.
440. Ces expressions sont susceptibles de discussions trèsdélicates, relativement à leur étendue. Ce n'est pas ici le lieu de s'arrêter sur ces détails, mais je les ferai au moins pressentir, en indiquant la marche des valeurs des deux membres de l'équation
- X = sm a; sin 2.x -\- r: sm 5x — etc.
Ils s'anéantissent quand x=o ; et si l'on fait x — " on en tire
valeur bien connue (38). Mais lorsqu'on supposer = 77. ce qui donne-- pour le premier membre, le second s'évanouit: il
en est de même pour la valeur x= — tt, en sorte que le développement n'est exact qu'entre les limites .r =±77 exclusivement, c'est-à-dire que les valeurs de - et de — " ii'v sont pas
comprises.
Si l'on fait ensuite
le développement, devenant
— sin r sin 27- — - sip 3)- — etc.,
Lackoix, Cale, diif.. 11. 7
gS DES DIFFÉUKXCES
lie répond ))lns au premier membre, qui est - (" 4- J'j ; mais si l'on ciiange x en tt — y, il viendra
- (t7 — y) = sin r-i — sin -zy-i- -;: sin 3 r -4- etc.,
ce qui montre que le premier développement en r donne la valeur de l'arc négatif - [y — tt), en exceptant toutefois le cas
0Ll^=O.
Il faut encore observer que le développement de - x donne
immédiatement celui de la fonction ax -\- b, qui exprime l'ordonnée d'une droite quelconque; mais tandis que la fonction représentée droite dans toute son étendue, le développement en sinus ne répond qu'à la portion comprise entre les abscisses -h TT et — 77, exclusivement. On peut, en changeant de variable, comme on le verra plus loin (4V2), passer à d'autres limites, mais on n'obtiendra jamais qu'une portion de ligne droite.
441. Les développements (A) et (B) paraissent devoir représenter respectivement deux espèces de fonctions. Le premier, dont tous les termes changent de signe avec l'arc x , répond aux cas dans lesquels f (x) est une fonction qui jouit de la même propriété, et que l'on ï\o\w\nQ fonction impaire, à cause que si elle était développée suivant les puissances de x, elle n'en contiendrait que d'impaires.
Le second développement, ayant la propriété contraire, celle de conserverie même signe, quoique celui de x change, serait particulièrement applicable aux fonctions paires; mais l'un et l'autre ne sont encore que des séries qu'on peut remplacer, comme on va le voir, par une nouvelle intégration définie.
Pour cela, commençons par les réunir, en observant qu'une fonction quelconque F {x) peut être décomposée en deux parties, l'une paire, c'est-à-dire telle, que si on la représente par rf [x], on ait rf{x) = f (— x), l'autre impaire, ou telle, qu'en la désignant par ■^ (x), il vienne ■^ [x] = — -i ( — x). En expri-
KT i)i:s si'UiES. gg
mnnl la première par la série (B), la seconde par la série (A], <^"t prenant leur somme, on aura
2 r cosx J\ {t)dtcost -r- C0S1X fv^ {t)(]t cos2;-i- etc. 1 îT [^-{-sina; J''li{t)dt sin t ^- sin 'j.a;f-\>{t) d/ sina/ -h etc. J
les limites de ces intégrales étant encore o et r.
On peut les étendre de — tt à -I--, pourvu que l'on double le premier membre, parce que la fonction (a{t) étant paire, passera de o à — 77, par les mêmes valeurs que deo àTr, ainsi que les cosinus. A la vérité, la fonction -^t) aura, dans ces intervalles, des signes différents; mais comme elle est toujours multipliée par un sinus qui change de signe en môme temps, le produit conservera le même : le résultat total sera donc doublé; ainsi, en prenant les intégrales de ~- h -^v:, on écrira
2Fix).~~J\{t)ût
cosxf(f [t] dtcost -r cos 2^y^ (?) d/ cosa? -|- etc.'l sh\a;f^{t)dt sin t -f- sin "^.xj'-h (/) d? sin 2/ h- etc. J
Il faut maintenant introduire la fonction proposée F [x] à la place des fonctions ^ et 4'? ce qui se fait aisément, quand on observe que
I •} (?) d? cos wY, / ç[/)d/sin/n/
sont toujours nulles, parce que la différentielle à intégrer e:>l le produit de deux facteurs dont un seul change de sign(3 avec t, savoir: ■if [t) dans la première, et sin mt dans la seconde. Parla on peut, sans troubler le dernier développenieni, y ajouter les termes que fournissent les expressions
cos mx J-b [t)dt cos mt, sin mx Jv^ [t] àt sin rnt :
alors, en multipliant les deux membres de l'équation par tt, et
lOO DES DIFFÉKEXCES
les divisant par 2, on obtiendra
-^ cos ^f[y{i) -T--^ (/)]d;cos/-^ etc.
-r sin ^f[<f[t) -h-^ [i)]di sin t -h etc.
et par conséquent
H- cos^/F(/)df ces t -h cos 2xJ'F{t)dt cos 2/ + cic. + sin a:fY[t]dt sin t -i- sin 2j"/F(/)dl sin zt + etc.
Le signe /ne se rapportant qu'à la variable t, on peut faire passer dessous les facteurs en x; et comme
cos X cos t -f- sin ^ sin / -- cos [x — /) , cos 2.x cos 2? -t- sin 2.x sin 2/ r= cos 2 [x — l] , etc.,
l'équation précédente peut être réduite à
FW-£"F(Od/|i
cos ix — t] -r-C0S2 [x— t] H- CtC./-
Ou l'abrège encore en écrivant
rF(^) = / '" F(Ocl^ l^-i.-Scosm{x-t] L
la somme S étant prise depuis m = 1 jusqu'à /n= infini, et comprenant les deux valeurs extrêmes (*).
4i2. On peut donner à l'intégrale, des limites quelconques,
au lieu de 77 ; il suffit pour cela de changer ^ et / en — et — :
Tzt' rrt'
faisant alors -^ — — 77, — = -f- 77, les limites de t' seront — a a a
(*) C'est conformément à la distinction établie dans le n» 408, d'après Euler (Inst. Cale, dijffcr., P. 1", cap. Il, § 5()), que je mets ici le sijue S au lieu Je 1 qu'on trouve ailleurs.
FT DES SEIIIES.
et -!-^. (\t neviennra ■ ; on aura
ttF
^.r:Kv)""B
niTz , , ,.1 + hcos - (x' — t') .
Puis en supprimant le facteur commun tt, ainsi que l'accent affecté aux lettres x et t, qui n'est plus nécessaire, et en écrivant f [x], { [t], pour Y (— U F ( — ) 5 il viendra
f(^-)^ j f[t]dl
cos
443. Dans celte dernière formule, la quantité a n'étant soumise à aucune restriction, on peut la supposer infinie, et l'on obtient pour F(^) une expression où la somme S est remplacée par une intégrale aux différentielles. On pose d'abord
nir:
d'où il suit
1 — SAç cos qix — /)
Maintenant, plus a augmente, plus ^q diminue, plus la somme S approche d'une intégrale aux différentielles (232) ; et pour passer à cette limite, il ne faut que changer ^q en d^, en observant que la variable q prendra toutes les valeurs possibles, depuis G jusqu'à l'infini : on aura donc
{[x)=^fî[t)(\tfûq cosq[x—t),
formule due à Fourier, dans laquelle l'intégration relative à q s'étend de o à l'infini, et l'intégration relative à t, de — infini à H- infini.
Ce dernier résultat se décompose en deux autres, quand on
DES DIFFEKENCES
sépare les fondions paires des fonctions impaires. On substitue alors à cos q [x — t) sa valeur cos qx cos qt + sin qx sin qt, et changeant l'ordre des intégrations, il vient
f[^] = -/dry cos qx fi [t](\t ces ql -\- - fûq sin qxf{[t]dt s'inqt;
remplaçant ensuite la fonction quelconque i[x) par une fonction paire «p [x], puis par une impaire ^ [x], en observant que
1 o( /)d/sin 7/ — o, I -lil t] d t cos qf =^0,
d'après la remarque faite dans le n° h\\, on obtiendra les deux expressions
o[x] =:z -fûq cosqx f':^[t)(\t cos qt,
•^ (o:) = -f(\q sin qxf-^[t)d t shiqt,
les intégrales étant prises entre les limites o et infini pour la variable q, — infini et + infini pour la variable t.
kkk. MM. Poisson, Cauchy et Liouville ont étendu les formules précédentes aux fonctions de plusieurs variables, et y sont parvenus par divers moyens. Je renverrai à leurs écrits le lecteur qui voudra connaître les points de vue sous lesquels ils ont envisagé cette théorie {*).
Je rapporterai seulement une des manières dont M. Poisson a véritié a posteriori la formule principale
{(x) =~Ji[t]dtfAq cos q{x-t),
TT
/^inf.
en traitant / dqcosq[x — /), comme la limite vers laquelle
Jo
tend l'intégrale /e"""''?' d^ cos q[x — /), à mesure que la quantité a décroît.
(*) Voy. la Théorie de la Chaleur, les Exercices d'analj'se et le Journal de Olalhéniatiqucs pures et ap/iliquées.
ET DES SÉRIES. Io3
Celte dernière formule rentre dans celle du n" 431, où il suffira de changer /■ en x — t et x en q, pour obtenir
(r-ty
e ^"' sJti fe-^'-'i' dqcos[x — t]q== — j
et par conséquent
t)dt = ^ f
Cela posé, le facteur e ''"' décroît en même temps que n H tend à devenir nul, à moins que le numérateur [x — ty de son exposant ne soit d'une petitesse comparable à celle de a, ce qui aura lieu lorsque la valeur de la variable t différera peu de celle de x : c'est donc seulement dans ce cas que l'intégrale indiquée pourra prendre une valeur assignable. Pour la découvrir, il faut faire t = x-i-z, et supposer que la valeur de z demeure dans des limites si resserrées, que l'on puisse la regarder toujours comme infiniment petite, el qu'il soit permis, en conséquence, de réduire f (.r + -) à {[x] ; il vient alors
Ux
]=-^ Ce 4-f(:r)d. = -fc|= fe 4-d.
Or, puisque l'intégrale comprise dans le dernier membre s'anéanlil aussitôt que z a une valeur assignable, on ne change pas celle de cette intégrale en étendante jusqu'à l'infini même; mais entre ces limites,
dz^=^ ia\T.^
ce qui fait disparaître a dans l'expression de f(^), el rend identiques les deux membres de l'équation.
On ne saurait disconvenir qu'appuyé seulement sur la valeur d'une intégrale définie à laquelle on n'attribue, à proprement parler, qu'un seul élément, le procédé que je viens d'exposer
I04 DES niFFÉllENCES ET DES SÉl'.IF.S.
ne doive paraître au moins Irès-délical ; mais ce qui le forlifio, c'est qu'en l'appliquant encore à d'autres intégrales, en particulier à l'une de celles du n" 432, on en tire toujours le même résultat, obtenu d'ailleurs a priori par des considérations trèsdifférentes.
Pour se faire une idée bien nette de ce passage d'une limiic finie à une limite infinie, il n'est peut-être pas inutile d'examiner la marche des valeurs d'une intégrale analogue à la précédente. Telle est /e""'' d /, dont on trouve une table à la fin de VJnalyse des réfractions astronomiques, par Kramp. On voit que cette intégrale, dont v^tt = 0,88622692 est la valeur entre les limites zéro et l'infini, ne diffère de celte valeur, quand / est seulement égal à 3, que de o,ooooig5<S. L'approximation doit être encore bien plus rapide, quand l'exposant — /' est divisé par le carré d'un nombre très-petit, ainsi que dans la formuUî traitée ci-dessus; et lorsqu'on suppose infiniment petit cet exposant, c'est une limite rigoureuse que l'on cherche et que l'on oblienl.
NOTE A, indiquée sur /fs pages i et 70. (Tome I'^^)
I. Considéré dans les procédés qui le constituent, le Calcul diiïérentiel est plus simple que les parties supérieures de l'Algèbre. Sa difficulté 110 tient guère qu'à celle d'apercevoir d'abord quel est son but, et de concevoir le sens de quelques nouveaux termes dont il a nécessité l'introduction.
C'est un problème de Géométrie (celui de Pappiis) résolu seulement dans quelques cas particuliers, par los anciens, qui a conduit Descartes à inventer l'application de l'algèbre à l'expression des lignes courbes; c'est aussi un problème (celui des tangentes) qui a fait découvrir le Calcul différentiel.
Dès le temps d'Euclide, on a pu remarquer que les tangentes jouissaient des propriétés des sécantes, en modifiant ces propriétés comme l'exige la réunion des deux points d'intersection en un seul, qui est alors le point de contact. [Foycz le n° 128 des Éléments de Géométrie.) C'est aussi sur ce principe que reposent, soit explicitement, soit implicitement, toutes les méthodes qu'on a fondées sur le Calcul, pour mener les tangentes aux courbes. Parmi ces méthodes, je choisis celle de Barrow, qui n'est pas encore le Calcul différentiel, mais qui s'en rapproche le plus.
Soit, par exemple, la parabole ordinaire, donnée par l'équation j^ =y>>x, en prenant sur cette courbe deux points M et ;M' [/îg. 1) pour mener une sécante, posant
AP = j:, P ?'=//, AP'r^ ..+//, PM = r; :M' Q = / , P' SI' =. r + h,
comparant les triangles semblables M'QM et MPS, on aura
M'Q:MQ-=PiM:PS, d'où PS^^jj'' f-t puisque le point M' appartient à la courbe, on a aussi
développant cette équation, pour en retrancher membre à membre y=px, il restera
2 v/ -!-/•" -- pl'i
lo6 NOTFS.
qui revient à
iy -\-k h
donc
