PS PT

Pour s'assurer que ^^, peut approcher aussi près qu'on voudra de :^^ •

il suffit de considérer que si le point M' passait au-dessous du point M, en M, (y%. 69), le point S tomberait en S„ de l'autre côté du point T; eu sorte que ce dernier sépare les snus-xécnntcs qui correspondent aux points supérieurs à M de celles qui correspondent aux points inférieurs, lignes dont la différence peut être conçue aussi petite qu'on voudra, par le rapprochement des points M' et M,.

11. A cet exemple, tiré de la Géométrie, joignons-en un autre tiré de la Mécanique.

Les corps tombent vers la surface de la terre, en vertu d'une force qui agit constamment, et en conséquence de laquelle leurs mouvements s'accélèrent, c'est-à-dire que ces corps parcourent des espaces de plus en plus grands dans des intervalles de temps égaux, lorsqu'on prend ces intervalles de plus en plus loin de l'origine du mouvement.

Quand on représente par i l'espace parcouru dans la première seconde, dans la deuxième on a 3, dans la troisième 5, et ainsi de suite : ce sont là des données d'expérience qui ont fait découvrir à Galilée que la force dont il s'agit, ou la pesanteur, est constante, c'est-à-dire quelle engendre toujours la même vitesse dans le même temps. Par vitesse, il faut entendre t'espace que le corps parcourrait dans 1^ unité de temps, si la force

m'ait cessé (F agir sur lui au commencement de cette unité. Cela posé, voyons comment on peut calculer les effets d'une pareille force.

Au lieu de supposer qu'elle agit constamment, concevons que ses actions, toujours égales, soient instantanées comme celle de l'impulsion,

et qu'elles se répètent à des intervalles marqués par une fraction — do la

seconde prise pour unité de temps. Un corps reoevra donc pendant

l'unité de temps un nombre m de ces actions dont les effets, s'ajoulant

les uns aux autres, lui imprimeront, au bout de ce temps, une vitesse

totale que je représenterai par p. La vitesse qui résulterait d'une seule

action serait donc — » toujours pour l'unité de temps; ainsi, pendant la

fraction — 5 le corps ne parcourrait que l'espace — ,• En considérant les m '^ nr

intervalles consécutifs indiqués ci-dessous,

m m m m nt

on aur;i, 1" pour les vitessestrésuUantcs des actions exercées par la forcc,^ au commencement de chacun de ces intervalles,

j) %p Zp ^p np

a" pour les espaces parcourus à la fin des mêmes intervalles, P -^p Zp kp np ,

la somme de tous ces espaces dont le nombre est «, sera [lar la formule relative aux progressions par différence [Élém. d'J/g., -ri^),

\//r nr ; % a \iir nr J

Maintenant, si l'on observe qu'un nombre quelconque de secondes, désigné par t, contient un nombre nit d'intervalles égaux à — 1 et qu'oii " rii ^

fasse n = mt, l'expression précédente deviendra

p / iiit nrf\ pt I I 2 V /// nr / '2 V m

Or, on voit que plus le nombre m augmente, plus les actions de la force se rapproc'^^nt, moins la quantité f [-t\ diffère de ;, et que même-

I08 XOTES.

elle subsiste lorsqu'on annule la fraction • — ■> ce qui anéantit l'intervalle

supposé entre les actions successives de la force. Cet état de choses est la

limite vers laquelle tend sans cesse la suite des mouvements considérés

plus haut; et par conséquent, dans l'action continue de la force, l'espace

parcouru est ésfal à - pu.

En mettant la valeur de n dans l'expression — de la vitesse acquise

après les n premières actions, il viendra — - =pt, quantité indépendante de /«, et par conséquent la même, quelque petit que soit l'inter-

Maintenant, si l'on fait successivement t — o, —\. ='2, etc., on aura les espaces

do .t les dilTérences sont

(j/^)' ^fj/^)^ ^{^P)' '^^■>

c'est-à-dire, i fois, 3 fois, 5 fois, etc., l'espace parcouru pendant la première seconde.

Dans l'exemple de pure Géométrie, on a supposé d'abord des points distincts, deux intersections au lieu d'un contact; maisen passant à la limite, on a établi la coïncidence des points, et les intersections se sont changées en contact.

Dans l'exemple de Mécanique, au lieu d'un mouvement accéléré d'une manière continue, on a considéré une suite de mouvements uniformes, ou égaux, pendant un certain intervalle de temps, et dont la rapidité croissait seulement dans le passage de l'un à l'autre; mais en prenant la limite, on a anéanti l'intervalle supposé entre les actions de la force, on a changé une suite d'actions isolées en une action continue, et l'ensemble (les mouvements uniformes supposés est devenu le mouvement uniformément accéléré, tel qu'il a lieu dans la nature.

Ces deux exemples suffisent pour montrer l'importance de la considération des états successifs par lesquels passent des quantités variables, comme les ordonnées des courbes, les espaces parcourus par l'effet des forces qui changent, et de chercher, non les changements en eux-mêmes, mais les limites vers lesquelles tendent leurs rapports.

NOTES. lOjj

III. Cette considération, qui est aujourd'hui la meilleure base que l'on puisse donner au Calcul différentiel, se retrouve implicitement dans la Géométrie élémentaire, toutes les fois qu'il faut comparer les lignes courbes aux lignes droites, les aires circulaires à celles des polygones, les corps ronds aux polyèdres ; car on ne mesure immédiatcmcm que des lignes droites, des polygones et des polyèdres.

En effet, si l'on désigne par w l'angle AOH [fig. 67) qui est la moitié de l'angle au centre du polygone régulier quelconque ABC, circonscrit au cercle dont le rayon OH = /•, et qu'on prenne l'unité pour le rayon des tiibles trigonométriques, on aura