I : tdngw = /•: AH, d'où

AH = /-tang&) et AB = 2/-tangw.

Mais le côté AB est contenu autant de fois dans le contour du polygone régulier que l'arc qui mesure l'angle AOB est contenu dans la circonférence : soit donc it. celle qui est décrite avec le rayon i, et à laquelle se

rapporte l'arc &^; le nombre des côtés du polygone sera — \ ainsi son

contour sera

a- , tan2;M

— . '^rlangw = iT.r . ■ — - — • 2W ' w

Or, plus le nombre des côtés du polygone augmentera, plus l'angle w dimi-

tan^'w nuera, et plus le rapport — ^^^^ approchera de l'unité qui est sa limite

(Tomel", page 35). Si l'on passe à cette limite, le polygone se changera en cercle, et sa circonférence deviendra 2Ttr, comme le donne la Géométrie élémentaire.

Rien n'est plus aisé maintenant que d'obtenir la surface du cercle. Celle

du polvgone ABC étant égale à son contour a-/- — — , multiplié par -011

I • . . , tango) , , ,. .

ou -r, revient a 77/-= — - — : et en passant a la limite on a r.r', comme

[lar la Géométrie élémentaire.

On appliquerait bien aisément ces calculs aux corps ronds; mais nous ne nous y arrêterons point : nous nous bornerons seulement à faire observer qu'ici la /imite se montre, non pas comme un mode arbitraire d'exposition, mais bien comme tenant au fond des choses.

La considération des limites n'est pas non plus étrangère aux Éléments d" Algèbre. J'en ai donné un exemple sur la fraction -7^ 7—^,

dont les deux termes s'évanouissent quand a = b, et dont la valeur est

l'O NOTES.

alors 2(7, et j'en ai fait usage pour expliquer un cas singulier du problème des deux lumières. [Élcin. dAlg.^ 70, 120.)

En effet, c'est toujours à celte considération qu'il faut avoir recour.s pour expliquer les difficultés qui peuvent naître des indications de quantités infinies ou infiniment petites, dont les mathématiques n'ont pas besoin de supposer l'existence actuelle, et qui d'ailleurs n'offrent aucune prise à l'esprit. 11 n'est donc pas étonnant que lorsqu'on analyse avec soin les diverses théories proposées pour l'établissement des principes du •Calcul différentiel, on y retrouve toujours des idées de limites.

I\ . Quelquefois on a employé des locutions vicieuses : c'est ainsi qu'on

a désigné longtemps la méthode des limites sous le nom ûc méthode des-

premières et dernières raisons; mais ce langage n'est pas exact. Quand,

"XY-^ k MO

plus haut, nous avons considéré le rapport - — '■ — des lignes rr^ ( P- 1061.

nous n avons pas dû dire que la limite -— était la dernière raison de ce-

lignes, car lorsque ^-^ se change en -^5 par l'anéantissement de /,

les deux points M' et M coïncident, les lignes M'Q et MQ n'existant plus, îi ont plus de rapport. C'est donc comme existant à part, c'est comme

quantité .v«/ g-('«67Y.v, qu'il faut envisager -^ ; et ce qui lie cette fraction

aux quantités // et /■, ou MQ et M'Q, c'est seulement qu'on peut l'en faire dériver, comme exprimant, non pas leur rapport, mais sa limite. C'est ce «jue Newton lui-même a très-bien exprimé dans ce passage de son livre des Principes :

« Les dernières raisons qu'ont entre elles les quantités qui s'éva- >> nouissent ne sont pas, dans le vrai, les raisons des dernières quan- ■>' tités, mais les limites dont les raisons des quantités qui décroissent à 3) l'infini approchent sans cesse, et de manière à n'en différer qu'aussi j) peu qu'on voudra (* ). »

Si l'on supposait que le point M', d'abord réuni au point M s'en éloignât, alors les lignes MQ et M'Q naîtraient au lieu de s'évanouir, et c"est

2 )' dans ce sens qu'on nommait -^ leur première raison.

C) VUimie rationes illie quihuscum quanlilales evanescunl, rêvera non sunl raiiones quanlilalum ultiniarum, sed limites ad tjuos quanlitatum sine limite decres- <:cntium rationes semper appropinquant ; et quas propiùs assequi possunt quant pro data quavis differentia. (Philosophiœ naluralis principia malhematica, lih. l ■sect. I, lem. XI, scholium. )