BC AB + AC
BD . i__ B'C B'D' . i„,, ,
-PR = sm - BAC. —77; nr, = -rrr, = sm - B AC , etc. :
AB 0. AB-hAC AB' 2 ' *
mais les angles - BAC, - B'AC, etc., tendant sans cesse à devenir droits,
leurs sinus approchent de plus en plus d'être égaux à l'unité : il en est de même des rapports dos lignes brisées aux droites qui joignent leurs extrémités, assemblages de lignes qui s'approchent aus.si de plus en plus de l'arc et de sa corde.
Il faut bien observer que ce n'est pas simplement parce que l'arc et sa corde diminuant, leur difTérence diminue, que leur rapport tend vers l'unité. Les côtés d'un triangle rectiligne, par exemple, conservent toujours leur rapport, à quelque degré de petitesse qu'on les réduise, tant que les nouveaux triangles demeurent semblables au premier, et les différences de ces côtés décroissent aussi dans le même rapport; mais il n'en est pas ainsi pour les arcs : ils s'aplatissent parce que l'angle inscrit s'ouvre à mesure qu'ils décroissent, et que les flèches AD, AD', etc., décroissent plus rapidement que les cordes BC, B'C, etc. Dans le cercle, par exemple, la flèche diminue comme le carré de la corde {Géom., i34). Il résulte de là que l'excès des arcs sur leurs cordes décroît aussi plus rapidement que ces droites. En effet, si l'on compare deux grandeurs A et a, qui diminuent indéfiniment, et que l'on pose A = a-\-o, on verra que le rapport
— = = I -i — ne peut tendre sans cesse vers 1 unité qu autant que
décroit plus rapidement que a.
On peut encore rattacher aux considérations précédentes sur les angles
inscrits dans les segments des courbes, la propriété qu'a le rapport de
l'ordonnée à la sous-tangente, d'être la limite de celui des accroissements
de l'ordonnée et de l'abscisse. En effet, trois points M„M, M' (J/g. 69),
sur une courbe quelconque, détermineront deux rapports ■ ,. et -ïtt^î
respectivement égaux aux tangentes des angles MM,0„ M'MQ que les cordes M, M et !\!M' forment avec l'axe des abscisses P,P'; et désignant ces angles par A et B, on aura
Cela posé, on sait que
tangA — langB ,„ .
tang A — B = ? . ° ^ {Tr/j^.,27 ,
"^ ' i+tangAlangB^ » > / />
d'où
tang A — tangB-- ( i + tang A tangB) tang (A — B);
et si Ion prolonge M,Mau delà du point M, on formera l'angle RMM', qui
sera la différence des angles ]\IiM,Q, et M'MQ, ou A — B, et en même
temps le supplément de l'angle M,MM'. Plus ce dernier approchera
de deux droits, plus le premier diminuera, et avec lui la différence
MO M'O tang A — tangB des rapports ' ? tttt' "^^'S l'un de ces rapports étant
PU
moindre que tt-i tandis que l'autre est plus grand, ils se rapprocheront
d'autant plus de cet intermédiaire, qu'ils différeront moins lun de l'autre : ce sera donc leur limite commune.
NOTE B, indiquée sur les pages i33, 226 e/ aSa. (ïome ^■^ I. L'équation
I = \[cosz-^\J— I sine), devenant
lorsque l'on prend z= imir^ fait reconnaître que lunité a une infinité de logarithmes différents. On ne trouve zéro qu'en posant m = o\ mais pour toute autre valeur entière, soit positive, soit négative de m, on obtient une expression imaginaire qui doit être regardée comme un logarithme de l'unité.
Cette proposition, qui semble un paradoxe, quand on n'assigne aux logarithmes qu'une origine arithmétique, en les déduisant de la comparaison des progressions (i?/<w. crjlg.,i5\), devient naturelle quand on les tire de l'équation y= c^. En effet, si l'on désigne par y. l'exposant numéiique
NOTES. Il3
de la puissance à laquelle il faut élever e, pour produire la valeur assignée kf, et qu'on fasse x= a + 3, il vient
'-' ~ ïi *!"' se réduit a f ?t i,
à cause de e —y. Mais l'équation c''-= i, étant développée par la formule du n° 27, conduit à
qui se décompose dans leg facteurs
s=zo, i + :::-|--^ + eic. = 0;
le premier est la dctcrniiiuitiim arUlimétique du logarithme de l'unité, et le second contient les dcterminations algébriques : ceci est à la théorie des logarithmes ce qu'est la considération des racines imaginaires de l'unité à la théorie des puissances [Éléiii. d'Jlg., iSg).
Les valeurs z = 2/^77 v''— i sont les racines du second facteur de l'équation e^=i, et celles de l'équation j= t-' sont x-{- -21117: \/— 1, en sorte que 1/= x-i-im-)/— i.
IL Pour déterminer ces racines, Euler, qui les a découvertes le premier, a employé un artifice d'anahse très-ingénieux, et qui repose sur la proposition démontrée dans le n° 488, d'après laquelle les racines de l'équation
1 —1=0 sont y = ces h v — ^ i sm •
11 faut d'abord observer que
- + --^ -' ^ + etc.
\ /ij i ï .1 n 1.2.3
-r etc.
a pour limite, lorsque n devient infinie,
î l j \ i etc. = C-.
Cela posé, l'équation 6'= — i = o pourra être remplacée par la limite de Lackoix, Ccdc. dijf'., 11. 8
Il/} NOTES.
( I + -) — I-- o, et substituant i+-à >', on aura, par ce qui pré-
'ède.
z ini- ■ . nmiT
I 4-- = cos h \'-~ 1 sin ;
puis prenant les limites relatives à la supposition de n infinie, suivant
laquelle cos et sin deviennent respectivement i et - ? en con-
ce^gnt toutefois que m demeure finie, on aura, comme ci-dessus, z = imi^ \j — I. »
... ., ^ 2W7T . iniTZ
Afin de bien voir cette limite, il faut mettre pour cos et sin ->
leur développement (37); et après les simplifications, il vient
\mW? , f Sm^TT^ , \
z— — - h etc. + y/— I ( 2W7r — ■ +etc. t
in \ ■jL.ô./r )
ce qui se réduit à z = im~.\J — i, lorsque n est infinie.
m. Il peut aussi n'être pas inutile de faire observer que la décomposition de 7""— I en facteurs, sur laquelle ce qui précède est fondé, s'obtient indépendamment des considérations du n° 187 : voici comment Lagrange y est parvenu.
Les équations
cos («4-1)2 — cos z cos nz — sin 2 sin nz, cos [n — I ) z = cos z cos nz + sin z sin nz,
étant ajoutées, donnent
cos ( « + I ) z + cos [n— I ) z = 2 cos z cos nz, d"où l'on tire
2C0S(«+ I )Z = 2 cos z. 2 cos «2 — 2C0S(« — I )z.
Posant ensuite
2C0SZ=j4--j
vl mettant les nombres i, 2, 3, etc., à la place de n, il viendra
2C0S2z= ()"4--| —i — r'-\ — -1 \ rJ * y
.cos3.= (r + i)(/ + i)-(.v + i)=,^ + l,
aco.4.= (r + i) {^+f) - (r'+i) =/+^.
etc.,
d'où l'on conclura d'abord, par analogie, que
Pour s'en assurer tout à fait, il suffit de voir que si la loi remarquée a lieu pour les nombres /z— i et u, elle aura pareillement lieu pour la nombre n-\-i. Or, si l'on fait
2C0S{«— I )3=-^-" + -^^zr^l 2C0S«3r=j"+— ?
il en résultera
2 ces
(«+.)- (r+^) (r+fj - (''-'+^-) =r"^y-^
ce qui est encore la loi supposée, et prouve qu'en partant des valeurs )7= I et «= 2, elle s'étendra à tous les nombres entiers. Il suit de là que les équations
qui reviennent à
j - — 2jr cos 3+1 i - o, j"" — ly" cos nz-\-\ = o, ont lieu en même temps, qu'elles ont par conséquent une racine commime. Mais si on la désigne par a, qu'on fasse ensuite jr= -> et qu'on réduise tous les termes de chaque équation au même dénominateur, on trouvera qu'elles sont vérifiées en même temps par cette nouvelle valeur; et comme la première équation n'est que du deuxième degré, il en résulte qu'elle est un des facteurs de la seconde.
Maintenant, si l'on prend
il viendra
cos/?z — coso, z~ ,
et par conséquent l'équation aura pour facteur
'J./)lTZ-\- fî
y — 2) cos
quel que soit le nombre entier qu'on substitue à ru : voilà donc la formule du n° 191.
Il6 XOTES,
Pour en déduire celles du n° 100, il suffit de faire o :=;: o et o ^ -. Dans le premier cas^ on aura
cos — ■^j j^" — 21-" -h I = (y — I )-, puis
y — 1 = o, y — 2/ cos 1- i = o.
Dans le second cas,
puis
, (ini-\-i)77 j'"+i = o, j)^ — ajcos^— ■ |-i=o,
comme dans le numéro ci lé.
