IV. Au moyen de Texpression
z = ini- \/ —
des racines imaginaires de l'équation e^"— i = o, on explique plusieurs difficultés qu'offre l'application des logarithmes aux nombres négatifs, entre autres celle-ci : puisque [ — uY = [-{-a)- — a-, on doit en conclure que
\[-aY=\a-, 2l(— «) = 2l(^rt), d'où l(-r/) = l(+«);
mais la dernière de ces conséquences ne s'accorde point avec l'équation 7 = e-^ : jamais aucune valeur réelle de x ne saurait rendre r négatif ; ainsi les nombres négatifs ne peuvent avoir des logarithmes réels. Cela est confirmé aussi par l'équation
z\, — I - - 1 ( cos z + \ — I sin z],
dans laquelle il faut faire :;= [iin+ i }- pour obtenir cos z= — i, d'où il résulte
ot en désignant par a le logarithme réel de +r/, il vient
formule qui ne donne aucune valeur réelle, puisque ui doit toujours être un nombre entier (188).
Cependant il est vrai que les expressions 2l(4-<7) et al (—a) font partie de celles de h/^ mais sans pour cela être égales entre elles. En effet, y. étant le logarithme réel de «, celui de fi^ sera 2 a, et tous les loga-
ritlimc3(tant réels qu'imaginaires) de cv seront compris dans l'expression •^ y. -h 2 m r. yj — I , /;/ pouvant être paire ou impaire. Dans le premier cas, ■i-in sera un nombre doublement pair, et par conséquent l'expression cidessus s'accordera avec
2 1(4-'"') ^" 2 7. + 2 .rLinr-s/— i :
dans le second cas, le nombre im étant simplement pair, l'expression de \ii'' s'accordera avec
mais les expressions
2a-r •i.'xm~.\l— i , 2^ + 2 {2///+ 1)71-^— l ,
ne sauraient s'accorder entre elles , puisque les nombres indiqués sont doublement pairs dans la première, et simplement pairs dans la seconde.
NOTE C, indiquée sur la page iÇ>5. (Tome I".)
N'ayant considéré dans les n"' 219 et 220 que le cas uù l'exposant n est entier et positif, je vais montrer ici ce qui arrive dans les autres cas, à l'égard desquels on a été longtemps dans une erreur que M. Poisson a relevée le premier; mais comme il restait encore sur ce sujet quelques difficultés à éclairoir (wtrijleTniité in-4", t. III, p. 6o5 et 616), il donna lieu à beaucoup d'écrits, qu'il serait trop long maintenant de citer en détail. [Voyez les annales de Mathématirjues ^ par M. Gergonne; le Bul~ Ictin des Sciences vuithémati(mcs\ par M. de Férussac; le Journal de M. Crelle, etc.) Je ne mentionnerai spécialement ici que les premières remarques faites en 18 12, par M. Poisson [Correspondance sur C École Polrtcclmique, t. II, p. 12), les Rcclterches sur l'Analyse des sections anoulaires, par 'M. Poinsot, publiées en 1825, et les articles insérés pa/ M. P(jisson dans le t. IV du Bulletin des Sciences mathématiques, p. 140 et 344.
I. Si l'on changeait l'ordre des termes dans l'expression de cos 2, d'où il résulterait 2"cos3"= (e-'>^ -4-^?'*^-' )", et qu'on développât suivant cet ordre le second membre de l'équation ci-dessus, on trouverait
2"C0Sz"=e-"-* ' 4--^-^"-=^-^-' -i ^-U-4).l I
+ ^^^^^~'^^;~'^ .-("--)'^~+etc.; 1.2.3
Il8 NOTES.
et comme
ç-mz v-\ çQg ^^2 — y/— I sin /wz, il viendrait
2 cos z" = COS «î H COS ( « — 2 ) 3 H COS («—42
cos(« — 6)z4-etc.
— V — I \ &\nnz-{-- sin [n — 2) z~\ sin{«— 4 )z
+ — ^ '-^ ^sin « — 6 z + etc. ,
ce qui ne diffère du développement écrit sur la page 261 (Tome \") que par le signe de y' — i , en sorte qu'on a la double expression
(A) 2"C0Sz" -- ZiZ'y/— I?
dans laquelle
Z = COS /î2 + - COS « — ijz-] ■■ -cos(/î — 4)z + etc.,
Z^= sin «2 + - sm « — 2 ) z H sm ( « — 4 ) 2 -t- etc.
Quand le nombre n est entier, cos z" n'a qu'une seule valeur qui est réelle : en égalant donc les deux précédentes, on forme l'équation
Z + ZV^ = Z-Zy/^,
qui ne peut avoir lieu que lorsque Z'=o, circonstance vérifiée en effet dans le n°219, et il s'ensuit que 2"oosz" = Z.
Mais quand n est un nombre fractionnaire, la quantité 2"cosz" a des racines imaginaires, comrtie toute expression radicale, et il n'arrive pas toujours que ses racines réelles coïncident avec Z, si ce n'est dans quelques cas particuliers où Z' = o : c'est ce que M. Poisson a montré pour le
cas où « = - et z = -^, TT désignant la derai-circonférence.
Alors
3r+-cos(^37.-2.j+ ^^ cos(^-:r-4:.J-f
= cos TT TT J I + - -I ^ -i ^ ' — ^^ + etc.
:^ cos ^ TT ( I -i- 1 )^ = 2^ cos X ~ = - J^'a,
a cause que cos -^n = — (Jr ce résultat n est pas exact , car cos ti- étant
— 1, on a 2^ (costt)^ = — y'2.
D'un autre côté , si l'on prend la détermination arithmétique de
'>.^ ( cos 77 jâ" , savoirv— 2j et qu'on la multiplie par les trois racines cubiques de l'unité
I, -^ 5 [Algèbre, iSq),
•j. li
il vient
2 3 (cosTr)-* =^ — v/a 5 ou ^ -^'—j ou -^^ — ^-î— )
et l'on voit que le nombre - \/i, obtenu plus haut, pour Z , n'est que la
demi-somme des valeurs imaginaires.
Dans cet exemple, les expressions ZrtZ'v/— ~i donnent immédiatement
les deux racines imaginaires, comme on peut le vérifier en observant que
sin ^TT = -v/3i mais de plus, chacune de ces expressions peut donner
successivement les trois racines de 2^ (cos7r)% en y changeant 77 en 077
et en 5 77, arcs ayant même cosinus.
Enfin la fonction toute réelle Z devient elle-même la valeur réelle — v/2
quand on y fait z = 877.
