II. Passons à l'examen du cas général
(2C0Sz)"---Z±ZV^;
observons d'abord qu'il y a deux manières d'arriver aux diverses valeurs, soit réelles, soit imaginaires, que comporte le premier membre. On peut, dans les séries Z et Z', changer
2 en Z + 2 77, Z + 477,...,
ou bien prendre l'une quelconque des expressions Z ± Z'y/— i , et la multiplier successivement par chacune des valeurs de (i)" ; les résultats seront les mêmes, mais l'ordre pourra être différent.
Pour appliquer le premier moyen, il faut chercher ce que deviennent les séries Z et Z', lorsqu'on y change z en z + 2 ^77. On a, dans un terme quelconque,
et comme les nombres m et r sont entiers, on peut laisser de côté la partie
im.irr.^ qui exprime un nombre complet de circonférences : il restera seulement Tare (« — 2/?2)z ^rinrr. ^ dont le cosinus et le sinus seront, par les formules connues,
COs(« — im)z cosanr- — sin { n — 2/»)zsin2//r-, sin [n — 7.m) z cos 2 nri: ~ cos [n — 2ni)z sin 2 nr-.
La première de ces valeurs donne, pour chaque terme de Z, une expression de la forme
M cos i n — lui )zcos inrTT — M sin (// — 'im)zsimfiJ-,
et la seconde, mise dans Z', produit
M sin [/i — 'jifii ) z cos inr- -f-M cos { n — 2 w) z sin "xnrr..
Cela posé, les facteurs cos inr- et sin inr- conservant la même valeur dans tous les termes, on verra sans peine que Z se change en
Z cos "Xiir- — Z' sin 2 nrr., Z'en
Z'cos2«/-77 -i- z sin im-, et Z-L ZV^t'n
Z cos inr- — Z'sin 2«/'-4-(Z'cos2^?/---|- Z sin inr~) \ — 1 = (Z-r-Z'\— l) cos 2/?/'7r 4- (Z v/ — I — Z') sin 2«/--, = (z + Z' \/ — 1 ) ( cos 2 nr-r -f- \/— i sin 2 «/■ - ) , à cause que l\'—\ — Z' ^ \/— i (Z-f-Z' v^— i).
Si l'on écrit '— au lieu de n, on aura l'équation (B) h'" cos z'^ = ( Z -f- Z' \/=T) (cos ^^ + V
ira— 1
/ — I sm — '■ — )
dont le second membre fournira v valeurs du premier, on prenant successivement pour /-les nombres o, i, 2.. . ., v — i.
Pour avoir une idée plus précise de l'équation ci-dessus, posons z = o; alors
cos z — I , sin z — o, doù
Z = ( I -f- I ) "'' = 2 '■' , Z' = o, et (il"— cos — -^ — 1- V — I sin — ^ j
comme il résulte des formules du n° ISS.
On voit donc par là que l'équation (A) conduit immédiatement au ré-
XOTES. 121
pultat que Ton déduirait de la considération des racines de l'unité élevée
a la puissance -•
III. Lorsque parmi les valeurs de la fonction y/a'" cos z'^' , il y en a une réelle P, dont on veut déduire toutes les autres, on pose
( C ) yj-i.^ cos Z^- = ? i COS — —- -i" \/— I sin — ï^ j ;
et comme ces valeurs se tirent aussi de l'équation (B), il faut que parmi les nombres assignés pour r et r\ il s'en trouve qui rendent identiques en môme temps (B) et (C). Dans ce cas
Z COS — '■ Z sm — '— ' P cos '
„, 2 /• M.77 a /- y.77 . ir'u- L cos — ■■ h z sm — '— ^- p sm ■ —
Si Ton élimine alternativement Z et Z' de ces équations, et qu'on change en sinus et cosinus de la différence des arcs, les produits de leurs sinus et de leurs cosinus, on trouvera
(D) Z = Pcos- — ^, Z' = Psin— ^-^,
d'où l'on déduira
O-ir' — r\ ucos — i -^ —
sm '■ —
relations dont la dernière, étant indépendante de z, résout une difficulté que j'ai indiquée dans le Traité in-4°, t. III, p. 6i6.
Néanmoins, quoiqu'il ne contienne pas z, ce rapport n'est pas constant: mais il varie par intervalles, comme on va le voir en assignant des valeurs particulières à l'arc z.
Soit i°s= o; alors Z' = o, Z = P, puisque Z est la valeur réelle de
ia fonction radicale. Dans ce cas, la première équation (D) donne
2 i /■' — r\ ut: . .
I = cos — '^ ; ce qui exige que r = r, et vérifie la seconde.
2° En posant z = tt, et prenant pour v un nombre impair, afin que
V a' (costt)- =S 2' (— i) ne soit pas imaginaire, la valeur de cette expression sera+Va''' ou
tll NOTES.
— Va''', selon que y. sera pair ou impair. Dans la môme hypothèse, les
etc.
nyant les mêmes sinus et les mêmes cosinus, les fonctions Z et Z' reviennent à
2 COS'— > 2 Sm ! }
et en mettant ces valeurs dans les équations (D), on arrive à
uTT 2(/*' — r)u.iz . U.1Z . lir' — r]u.Tz cosî^ = cos— ^ -^—y sini^=sin— ^ '-^ — t
équations auxquelles on ne satisfait qu'en posant
i=:2(r — r) ou r— /•=-•
Le développement de sin s"" donnerait lieu à de semblables observations; mais il est inutile de s'y arrêter, parce qu'on l'obtient aussi par
la substitution de au lieu de z, dans celui de cos z".
Ce qui précède montre suffisamment l'origine des diverses valeurs que prennent, suivant la nature de leur exposant, les fonctions cos z" et sin 2"; mais la variété des formes données aux développements des fonctions circulaires et des méthodes employées pour y parvenir, ne permet pas d'en insérer le détail dans une simple Note : je renvoie pour cela aux ouvrages que j'ai cités, et je me bornerai à indiquer deux développements qui sont inverses de ceux des fonctions sin z" et cos z".
rV. Les formules du n" 187 donnent aussi des expressions simples et élégantes des sinus et des cosinus des arcs multiples. On a
cos nz + \/— I sin nz = (cos z -+- /— i sin zj-j cos nz — /— I sin nz = (cos z — \/— i sin z)" ; en prenant la somme de ces équations, on en conclut
(cosz + v/ — I sin z)" + (cos z — \/— i sin z)"
cos nz =
et si l'on retranche la deuxième de la première, il vient
(cosz-hv/— I sinz)"— (cos z — s/— 1 sinz)" sm nz — i —L '. — — ^
expressions qui, quoique affectées d'imaginaires, n'en sont pas moins réelles, parce que ces signes disparaissent tous par le développement des puissances indiquées. En effet, on a
^cos 3+ \ — I sm z) = cos - H — \ — i ces z"~' sin z
tiin — I ) , . ■ cos z""^ sin Z' — etc.,
(cos Z— y/ — I sin s)" = cos s" \l — i cos s""' sin z
• cosz""' sin 3- + etc.,
et substituant ces séries dans les valeurs ci-dessus, on arrive à
cos nz = cos 2" ^^ cos z" ' ' sin z^
COS z""* sin z* — etc.,
sm nz — - cos z" ' sm z -— cos z"~^ sm z^
H ■ — f-i — - — — — cos z"-' sm z^ — etc.
NOTE D, indiquée sur la page 271. (Tome I".) I. Après les différentielles de la forme
Xd.r
v/A+Bx + Cj;'
dont les intégrales, dépendant des arcs de cercle ou des logarithmes, peuvent se calculer numériquement au moyen des tables trigonométriques, on a considéré les différentielles suivantes :
Xd.r
v/A + B X + C .r^ -4- D JT^ + E j:*
dans lesquelles le radical n'est encore que du second degré, mais contient jusqu'à la quatrième puissance de la variable. Comme dans le n° 183, ce radical peut être mis au numérateur ou au dénominateur, X désignant toujours une fonction rationnelle de x. En raison de la variété des formes qu'on peut donner à X, la différentielle proposée est susceptible d'une
infinité de cas différents; niais on peut les ramènera un petit nombre des plus simples.
Pour le faire y)lus facilement, il convient d'appliquer au radical ime transformation qui fait disparaître les termes de degré impair, B.r et D-r*. On arrive à ce point de plusieurs manières. [Fojez le Traité in-4", t. II,
p. 48.) La plus simple est d'abord déposer x = '——-—■, et d'égaler à zéro
les coefTicients de ret de y^ sous le radical, qui par ce moyen prendra la forme
on aura ainsi deux équations pour d'éterminer les quantités p et (j. Alors la différentielle proposée sera
Yd )■
v/a + pj^-f-y/
Y désignant une fonction rationnelle et paire de y, et l'on démontre (dans l'endroit cité) que si, pour abréger, on représente le radical par R.
1 mtegraie / —~- pourra être ramenée a
II. La quantité cf.-\-l^y + yr\ soumise au radical, pouvant être décomposée en deux facteurs réels de la forme e-\-f)^ et ^-+-///', revient à
et si Ton faif- = p-, - = r/-, on n'aura plus à traiter que la différentielle e q ■
Ydr .
qui pourra être convertie en série convergente, lorsque les deux constantes p et <7 seront très-inégales, ou lorsqu'elles différeront peu. On a déjà vu un exemple du premier cas, dans le n" 20G, sur la for-
mule -— ^-: '—: qui devient ' ' ' - ■> lorsqu'on multi-
plie ses deux termes par v''! —e'x-, et donne lieu à une série d'autant plus convergente que e est une plus petite fraction.
En général, soit ry V- = -^y-j la différentielle en r se changera en
Nd«
et on développera le facteur ( i +-4,"") suivant les puissances de la
fraction -• P Quand les valeurs de p et de «y seront presque égales, la différentielle proposée s'écrira ainsi :
en posant
et alors on développera le radical suivant les puissances de o ; le résultat sera d'autant plus convergent que S sera petit par rapport à z'^+j^ Il y aurait à la vérité quelques cas d'exception; par exemple, si l'on avait ,.2 j2 au lieu de 7•■+J^ et si la valeur de y était peu différente de celle de r; mais ces détails ne sauraient trouver place ici.
Il suit de ce qui précède, que l'on faciliterait beaucoup l'approximation de l'intégrale cherchée, si on la préparait de manière à augmenter l'inégalilé des coefficients p et 7, ou de manière à diminuer sans cesse leur différence : c'est ce qu'a fait Lagrange par une mélhode, la plus élégante peut-être qui soit sortie de la plume des analystes. Ne pouvant l'exposer ici [voyez le Traité in-4°, t. II, p. 77), nousdirons seulement qu'en
Ydr
I Yd.r
it
P'i xfir'-^-y'f — à'
posant u — •- i A ' •';';., i Lagrange obtient une transformée
, , M du
^{l±p'u'){i zîzfj'iâ
dans laciuelle L et M sont des fonctions rationnelles de «' et/^>7, inégalité qu'augmentera la répétition des mêmes procédés. Ainsi, dans ce qui précède il y a strictement tout ce qu'il faut pour calculer les intégrales proposées, lesquelles, comprenant comme cas particulier l'arc de l'ellipse (262), ont été nommées transcendantes elliptiques ;Viirc de l'hyperbole en fait partie (264), tandis que celui de la parabole ordinaire ne dépend que des logarithmes (260).
III. Quoique les transcendantes elliptiques n'aient pu jusqu'à présent être exprimées par des fonctions primitives algébriques, ou logarithmiques, ou circulaires, on leur a néanmoins découvert des propriétés remarquables, analogues à celles qui établissent la relation des sinus et des cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs de cercle, ef qui mènent à la division de ces arcs : tel est l'objet d'une branche d'analyse portant sur la comparaison des transcendantes ; et pour en marquer l'origine, je partirai des fonctions logarithmiques.
Si l'on ne connaissait pas la fonction qui est l'intégrale de -^ 5 on pourrait en découvrir les propriétés comme il suit. On poserait d'abord
ùx , d.r /*d.r /*dx
f étant la caractéristique d'une fonction inconnue ; et en indiquant l'intégrale des termes de l'équation différentielle dont les variables sont séparées, on obtiendrait
Cf. étant une constante arbitraire. Mais quand on fait disparaître les dénominateurs de cette même équation différentielle, \\\\çn\. yûx + xAy—o, dont l'intégrale est
(B) xj.= p.
Si, pour déterminer les constantes a et p, on faisait j= i, l'équation (Bj donneraito: — ^ et l'équation (A) deviendrait f(p)4-f(i) = a, d'où f(-^) + f(j)-/(P) + f(i), et enfin
en remettant pour p sa valeur xy.
Pour savoir ce que c'est que f(i), il suffit de poser x = \+ii, d'où
le développement de cette intégrale s'anéantissant quand u = o, montre que l'on peut supposer f (i) = o, et qu'alors
équation qui comprend toute la théorie des logarithmes. Passons aux fonctions circulaires; soit l'équation différentielle Ax dj
représentons par f(jr) etf(j) les intégrales f- -'^— et T-Al— .
il viendra d'abord »-
Or, de même que ci-dessus, il existe, entre les variables o^et j, une équation algébrique qu'Euler a trouvée le premier pour un cas plus général, et qui se réduit à
(B) rv/i — .r'+jrt/i— jr = p,
pour celui qui nous occupe. Ne pouvant entrer ici dans le détail du calcul qui se rapporte à cette équation, je donnerai seulement la manière de la Nérifier par la différentiation. On aura en premier lieu
dj v/7=:^^- -^ + dx v/r:? - ^^ - o,
ce qui revient à
et donne par conséquent l'équation proposée , quand on supprime le second facteur qui ne contient point de différentielles.
Cela posé, quand on fait j= o, on a, par l'équation (B), a; = [3, et par l'équation (A),
mais par le développement de I ■ ^ , on reconnaît tout de suite la
possibilité de supposer f(o) = o. Il suit de làf(^) = a, et par conséquent
f (x)+ f (7) .. f (jv/r=r? 4- ^ /ï^^)-
Si l'on fait f (j:) = t, f (j) — u, et qu'on désigne par f, la fonction inverse de celle que représente f, en sorte que j:= î^[t), x— f, («), l'équation précédente deviendra
puis
f,(/ + «)-f,(Mv/i-f,(^]'+f,(0\/i-f,(«)M ce qui est évidemment la même chose que
sin (H-«) — sinf cosM + siuMCos?.
On aurait de même
sin (/ — u) = sin ^cos u — ëïnucost, en parlant de l'équation différentielle
dx dy
Ces formules, qui sont la base de toute la théorie des fonctions circulaires, conduisent aux expressions des sinus et des cosinus des arcs raulti[)les d'un arc donné, lesquelles, par un simple renversement d'inconnues, fournissent l'équation d'où dépend la division de cet arc en parties égales. On en peut voir un exemple dans le n" 171 de la Trigonométrie, et il suffira , pour faire concevoir comment la résolution de certaines classes d'équations se lie avec la division d'un arc en parties égales.
Euler ayant trouvé aussi une équation algébrique qui satisfait à l'équation différentielle
a jeté les fondements de la comparaison des transcendantes elliptiques, à laquelle Legendre s'est appliqué avec un grand succès, dans une longue suite de recherches.
D'abord il en simplifia la forme, que Lagrange avait déjà ramenée à
Pdx
cl montra que ces différentielles pouvaient toujours être exprimées par
Qdo
y/i — c'sin^^
au moyen de la transformation indiquée dans le n° 2G3 : il prouva ensuite (pj'en les prenant dans l'état le plus général, on n'en lirait que les trois formules
do
\/ 1 — c' sin Y
do
/do \Ji — c- i>n\'-
(i+/zsinç-^) y/ t — casino'
irréductibles entre elles, et constituant trois espèces distinctes, la secondi'^ étant l'arc d'une ellipse dont le grand axe = i, et l'excentricité = c. Dans ce cas, le procédé de Lagrange qui opère la diminution continuelle
de c, fait passer de l'ellipse proposée à d'autres dont l'excentricité devient de plus en plus petite , et qui s'approchent sans cesse du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. [Fofcz le Traité in-4°, t. II, p. 176.)
L'augmentation successive du coefficient c mènerait, au contraire, à des ellipses de plus en plus aplaties et s'approchant sans cesse de la ligne droite.
Pour la première espèce de transcendante, à l'équation différentielle
\/ 1 — c^ oin 'f- ^i — c^sin^*
répondent les équations primitives
(B) cos'ycos-^— sinosiny yM — c^sinp''— cos/x,
a et p étant les constantes arbitraires; la seconde équation, qui est algébrique, détermine entre o et -l^ des relations analogues à celles des variables X et j relatives au cercle (p. 127).
Nous ferons observer que la fonction f de l'équation (A) ne dépend que de deux quantités, savoir : c qu'on nomme le module, et l'arc de cercle ^, qui désigne l'étendue ou V amplitude de la fonction.
La suite des valeurs correspondantes de c forme ce que l'on appelle une échelle de modules. Ld^ première qu'on ait connue est celle qui résulte de la transformation employée par Lagrange (p. iiS). Legendre en a trouvé uneseconde,etM. Jacobi(deKœnigsberg)a montré qu'il y en avait une infinité d'autres, dans lesquelles pourtant la première n'était pas comprise.
Sous ce point de vue, l'intégrale 1 ' — qui exprime la trans-
J v'i — c^sino^
cendante de première espèce, est désignée par F (c, 9).
C'est de l'équation
y/i — X^sin'y-' \J \ — li- éin -Y
que part M. Jacobi, dans ses recherches. Lorsqu'on intègre séparément chaque membre entre les mêmes limites, p. étant un nombre constant, on a
F(/-, p) = pF(/^•»,
ce qui établit le rapport p entre deux fonctions elliptiques de première espèce , mais différentes par le module et l'amplitude. On peut remplir cette condition, en prenant pour le sinus de l'une des amplitudes une Lacroix, Cale, diff., II. 9
l3o NOTES.
fonction rationnelle du sinus de l'autre, et dans les coefficients de laquelle est introduit un nombre qui, par les diverses valeurs qu'on peut lui assigner, donne les différentes échelles de modules : tel est le théorème principal découvert par M. Jacobi.
Pendant qu'il enrichissait de formules nouvelles la comparaison des transcendantes elliptiques, un géomètre suédois, Abel (de Christiania), qu'une mort prématurée a enlevé au milieu des plus grands succès, s'occupant aussi du même sujet, trouvait de son côté les résultats énoncés plus haut, et d'autres qui lui appartenaient exclusivement.
Il change l'ordre des quantités, en regardant l'amplitude comme fonction de l'intégrale, c'est-à-dire que désignant par i^ l'intégrale
au lieu de
H = F(c, sin^), il pose oi=A«,
A étant la caractéristique de la fonction inverse de celle que représente F, et l'on a sin ç. = sinAM.
Pour bien concevoir en quoi consiste ce changement, il suffit de se rappeler l'échange fait plus haut (p. 127) entre l'arc de cercle et son sinus. D'abord, les arcs sont exprimés par leurs sinus, et ensuite c'est le sinus qu'on indique par son arc.
Les Ménwires d'Abel ont été insérés dans le Journal de Mathématiques de M. Crelle; M. Jacobi a tiré des siens un ouvrage publié à part, en 1829, intitulé : Fundamenta nova Thcorice functionum elUiHicarum, sur lequel M. Poisson a fait, à l'Académie des Sciences, un rapport enrichi de notes savantes, et dont elle a ordonné l'impression. [Foyez le t. X de ses Nouvcaujc Mémoires, p. 73.)
IV. Outre les transcendantes elliptiques, il y en a encore deux genres auxquels Euler a donné une attention particulière, et qui sont entrés dans les recherches de Legendie : ce sont les formules
C a"'-'àx[i-x")^ et C àx\ r^Y,
qu'il a nommées Intégrales Eulériennes [voyez le Traité in-4'', t. 111, p. 421, 473). On a indiqué, dans le n°434, la propriété fondamentale de
l'intégrale / da:l ( - j entre les limites zéro et l'infini, et le cas singu-
lier ou p = -'
Ajoutons ici que le Traité des fonctions elliptiques, par Legendre, contient des tables très-complètes pour calculer les valeurs numériques de ces fonctions.
Le rapprochement de tout ce qui précède doit faire connaître les points principaux des recherches auxquelles donne lieu le classement des diverses transcendantes, et comment des intégrales dont l'expression indé- 6nie ne saurait être obtenue dans l'état actuel de l'analyse, prennent des valeurs assignables entre certaines limites , et manifestent des relations plus ou moins simples lorsqu'on assujettit à des progressions particulières les valeurs successives de leur variable.
NOTE E, indiquée sur les pages 3i3 et 329. (Tome I".)
I. On a vu, dans le n°271, que le résultat des intégrations successives, par rapport à deux variables, ne dépendait pas, en général, de l'ordre dans lequel ces deux intégrations étaient effectuées : on peut aussi se rendre compte de celte circonstance, en considérant les intégrales comme des sommes d'éléments, au moyen de l'expression donnée dans la note de la page 277 du tome P^ En effet, soitl'intégrale double jj'zdxàjonz = f(x,7), et ayant pour limites n et a' par rapport à .r, 6et^' par rapporta j; commençons par l'intégration relative à x, et posons a' = 0+ nx] mais, pour abréger, écrivons f(/",7) au lieu de f(rt + /«a,j); nous aurons , d'après la note citée.
zàx = « [f (o, j) +f(i , .r) . . . . +f[n - I , j].
Multipliant ensuite par d/ les deux membres de cette équation , et intégrant depuis /= b jusqu'à/ = b', en faisant b' = b+pa., un terme quel conque y-Jdfî{m,j) du second membre donnera
et il en naîtra, pour le développement complet,
J" b' /ta' \ =d.rdj h 'Ju
l32 XOTES.
OÙ chaque ligne représente une intégrale relative à .r, et chaque colonne, une intégrale relative à /. Si l'on renversait l'ordre des intégrations, les colonnes prendraient la place des lignes, et réciproquement : il n'y aurait de changé que l'ordre des substitutions; car dans le premier cas, on commence par substituer à x ses diverses valeurs, et l'on ne met qu'ensuite celles de j, tandis qu'on fait évidemment le contraire dans le second cas. Or, cela ne change rien en général à la valeur des termes du dernier développement, puisque f(^, /) doit toujours rester la même, lorsqu'on y met pour jt et jr les mêmes valeurs, dans quelque ordre que s'effectuent les substitutions.
II. Il y a pourtant à cela une exception, lorsque ces valeurs rendent {{xjjr) indéterminée, en la faisant passer par l'infini. C'est sur la fonction
. - ., ,., que M. Cauchy a d'abord fait cette remarque. Quand on y suppose simultanément j: 1= o, jr= o, elle devient entièrement indéterminée, comme celle qu'on a considérée dans le n° 15i [voyez aussi le Traité in-4°, t. I, p. 357-3()0 et 607 ); mais si l'on n'opère les substitutions que
l'une après l'autre, en commençant par x = o, on trouve"^ = — ? ce qui
devient -h infini, lorsqu'on y fait j>- = o; et dans l'ordre contraire, il vient
d'abord — — = ^) que la supposition de j:= o change en — infini;
mais la différence des deux résultats cesse dès que l'on ne considère plus X et y comme rigoureusement nuls : il n'y a donc qu'un seul élément qui prenne deux valeurs, celui qui répond à j: = o, j> = o; et ce qu'il faut
bien remarquer, c'est que la fonction 7^4 ^,— ,, devenant alors infinie,
fait prendre à cet élément une valeur finie qui influe sur celle de l'intégrale proposée; aussi arrive-t-on à deux résultats différents, suivant l'ordre dans lequel on effectue les intégrations.
Pour s'en assurer, il faut remarquer que si l'on fait
a = arc 1 tans = il vient
dxdy [x^-i-yy
Il suit de là qu'en commençant par l'intégration relative à x, on a en général
/, /* d'il , du X
'^-'-Jd^y^^-d-y=-:^^Tf'
et depuis x = a jusqu'à x = n\ on obtient a' a
Passant ensuite à
= arc ( tang = •^, J — an | tang = - ) 5
et les limites de cette nouvelle intégration étant b et h\ on trouve pour dernière expression
arc f tang — - j — ar( | tang = -; | — arc ( tang = — j 4- arc ( tang = - ) •
Quand on procède dans l'ordre inverse , on a successivement
/' . Ç d' u . d w j J^ " ^Jûxd/ -^ ^ dx~ x^
d'où
jc'^lf^^ x-' + b^
fdu ^ r b'dx r bàx
" ^ j d-r^" -' -jb^x^ -^Jb^Tx^
= — arc f tang = ^ j + arc f tang = r ) '
et enfin
— arc I tang = y j + arc (tang = t-, j + arc ( tang=: -r-j — arcf tang = ^ j-
11 ne serait pas difficile de montrer que, dans leur étal général, lea deux expressions précédentes sont identiques; mais si l'on fait
limites entre lesquelles torhbent j: = o, j^ = o, et d'oii il résulte
arc(tang= i) = -1 arc (tang = — i) = — -r) on trouvera les valeurs
7r TT TT TT
