TT 7T TT TT

~4~4~4~4"'~''' qui ne sont pas égales, mais dont la difi'érence est 27r.

l34 NOTES.

Si l'on voulait prendre ^ = o, j=o, pour les premières limites des intégrales cherchées, il faudrait faire d'abord «'= b' =z i, et la première expression deviendrait

^ — arc ( tang ^ b) — arc ( tang = - ) -f- arc ( tang = - j i

ou bien

y — arc (tang = i) + arc ( tang = «)-i- arc ( tang-- -h 4 \ ^^J

a cause que

arc ( tang = - j — - — arc(tang-^ a).

Considérant alors a et ^ comme des quantités très-petites, et négligeant en conséquence les termes

arc ( tang — «), arc (tang =6),

il resterait — j-i-arc( tang = - h expression qui devient indéterminée quand a q\, b sont nuls. Si l'on posait b = inn^ on aurait

— ^ + arc ( tang = m ) ,

la quantité m pouvant varier de o à l'infini : dans le premier cas, le ré-

sultat est — -1 et dans le second, + -? a cause que arc ( tang = infini) = -; 4 4 -1 \ D '2

la différence entre ces deux valeurs est tt. On a trouvé d'abord 27:, parce

que les variables x et y étant à des puissances paires, dans la fonction

proposée, chaque intégration de — i à 4- 1 donne un résultat double de

celui qu'on obtient de o à -;-i.

L'ambiguïté qu'on vient de montrer n'aurait pas lieu pour les intégrales

d^rdj,

prises dans les mêmes limites, quoique la fonction

x--hf

se présente sous la forme -■> quand on y fait à la fois x == o, j= o, et

prenne deux valeurs différentes, suivant l'ordre des substitutions, parce que, ces valeurs étant finies, elle n'a, dans cette circonstance, qu'un élément infiniment petit.

NOTES. l35

III. La différence des valeurs obtenues en variant l'ordre des intégrations, ne venant que du seul élément placé à l'origine des variables x etj, M. Cauchy l'évalue à part, ce que l'on peut faire comme il suit.

Soit '^{j:,j) l'expression générale de zdx, z devenant infini par des

valeurs de x et de j, comprises entre les limites a et a\ b et //; en désignant par a la valeur de x, et par /- une quantité très-petite, l'intégrale

/zdjT, prise dans le petit intervalle de a — / à c/.-\-k, sera

et dans l'intégration suivante, effectuée depuis /= b jusqu'à j:^ b\ donnera la portion

J^ dj- [^ ( a H- A; r ) - cp ( a - /■, y) ] ,

qui approchera d'autant plus d'être celle qui correspond à un seul élément, que la valeur assignée à A- sera plus petite. Dans l'exemple de l'article II, pour lequel

x' -h j' l'expression trouvée ci-dessus devient

= 2 arc ( tang = 7 ) — 2 arc ( tang = — - j •

En faisant / — o, pour passer à la limite, on a

2 arc (tang -= infini) — aarc (tang = — infini)

précisément la différence trouvée dans l'article cité. Les intégrales où l'on ne considère qu'un élément, ainsi qu'on l'a vu

plus haut pour j zàx, ont été nommées, par M. Cauchy, intégrales singulières; les lecteurs qui voudront plus de détails sur ce sujet, les trouveront dans le tome I des Nouveaux Mémoires présentés à F Académie (les Sciences, par divers Savants, p. 672.

IV. La différentiation sous le signe intégral n'a été considérée, dans la

note de la page Sag du tome I", que par rapport aux intégrales indéfinies, et n'est complète pour les intégrales définies, que lorsque leurs limites ne varient pas. Quand le contraire a lieu, il se présente deux cas, selon que les valeurs extrêmes de la variable indépendante ne se trouvent pas comprises sous le signe /, ou qu'elles entrent dans la fonction soumise à ce signe : voici pour le premier.

Une intégrale étant équivalente à une somme d'éléments que l'on peut supposer aussi petits qu'on voudra (232), on voit sans peine que si les valeurs extrêmes représentées par a Qi b deviennent a -4- d a et A -h d^

l'intégrale i Xdx augmentera de l'élément A„ d 6, et diminuera de A da,

ou, ce qui est la même chose, deviendra

Xdjr-KBd^ — Ad<7,

B étant mis pour A„, ou bien encore

î{x)dx -h i{b)db — {{a)dn,

en représentant X par f(j"), comme dans la note de la page a-y du tome I".

Supposons maintenant que X comprenne en même temps les quantités n et b; alors le changement de a en a -\- dn, et de è en ^ -f- dé, donnera, au lieu de X, X + -^ — drt-!--rrd6, et si les quantités a el b ' dci db ^

sont des fonctions d'une troisième, j, on aura

d f Xdx Ja da C d^A , tl^ r tiX- , ^db .da

d^ djJ da ûyj db d/ dj