I ) 1 .1. . . Il
Si toutes les dérivées de F(x) satisfont aux conditions relatives à la continuité, dont nous avons parlé, et si de plus la quantité
tend vers zéro quand ?i augmente indéfiniment, la formule (4) donnera la série de Taylor, savoir
(6 ) F (X + //) = F (x) ^ ^ F' (x) -+- ;^ F" (x) -i- . . . ; la quantité R„ est dite le reste de la série.
l44 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL
Pareillement, la formule (5) donnera la formule de Maclaurin, savoir '
si la fonction F {x) et ses dérivées satisfont à la condition de continuité, et si en outre le reste de la série, savoir
tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment.
7. Jutre forme du reste de la série de Taylor. Remplaçons h par z — X dans la formule (4), et désignons le reste par f{x) , on aura
(8) F(z)^F(^)-^F(^) + ...-f- iiZ^^F''-' [X) +/(x),
et, en prenant les dérivées de chaque membre par rapport à x, il vient, toutes réductions faites,
mais, en appliquant la formule (4) à la fonction/, dans le cas de 7i = I , on a
f{x + h)-f{x)=hf'{x-r^h)
ou
f{z)-f{x) = {z-x)f'[x+Hz-x)];
d'ailleurs l'équation (8) montre que /(:r) s'annule pour x = z, on a donc
f[x) = -{z-x)f'[x-^Hz-x)\;
d'ailleurs, en remplaçant x par x-\-^{z — x) dans la formule (9), on a
i .1. . . (fi — I ) '- -'
ET LE CALCUL INTEGRAL. I/ja
donc
remettant ensuite x->rh au lieu de z, on a l'expression suivante du reste que nous avons désigné par K„ au numén précédent,
Celte nouvelle expression a été donnée par Cauchy; 9 y désigne, comme dans la première, une quantité comprise entre o et i. En faisant ^ = o et écrivant ensuite x au lieu de h, on a l'expression suivante du reste de la série de Maclaurin
Sur la différentiation des fonctions transcendantes.
8. Lacroix fait usage des séries pour la recherche des différentielles des fonctions exponentielle et logarithmique; on peut arriver aux mêmes résultats par une méthode plus simple et plus rigoureuse que nous allons indiquer.
Lemme. Si l'on désigne par e la limite de la série convergente
l'expression ( iH | a pour limite le nombre e, lo-rsque la
quantité m tend vers l'injini.
Pour démontrer celte proposition, nous supposerons d'abord que le nombre m tend vers l'infini en ne prenant que des valeurs entières et positives. On a alors, par la formule du binôme relative à l'exposant entier et positif,
I N"' , mi m{m—i) I /n... (m— n+i ) i
ml i m 1.2 m- i .2. , ./i m"
l46 NOTE SUK LE CALCUL DIFFERENTIEI
OU
H =IH \ h...-!-^ ■ -r-l5,„
({„ désigne la somme des termes du développement qui suivent le (aï + i)''^"'*, et l'on a
m \ m I \ ml I
la somme contenue entre crochets est composée d'un nombre limité delermes, etceux-ci sont évidemment moindres que les termes qui occupent le même rang dans la progression géométrique illimitée
w -h I ' ( /t -f- 1 )' [n-^iy
qui a pour somme - ; la somme entre crochets qui forme le
dernier facteur de R„, peut donc se représenter par -•> étant une quantité comprise entre o et i ; on aura d'après cela
I m \ ni \ ml
m} \ m j e \ ni / \ m
Supposons maintenant que, n restant constant, on fasse croître indéfiniment l'entier m, on aura, à la limite,
lim iH =^ I H i
9 désignant comme une quantité comprise entre o et i. Cela posé, si l'on fait croître indéfiniment le nombre n, la quan-
ET LE CALCUL INTEGRAL. l4j
tue ~ tendra vers zéro, et 1 on aura
lim n = i -\ 1 1
La proposition qui vient d'être' établie a lieu encore si m tend vers l'infini en prenant des valeurs positives quelconques. En effet, désignons par p et /x + 1 les deux entiers entre lesquels m est compris, p sera une variable qui tendra vers l'infini en même temps que m. Or on a
ou
les quantités 1 i -f | et I n — 1 ont e pour limite ;
i -\ et I H — tendent vers l'unité; donc l'expression
I I -I — 1 est comprise entre deux quantités qui ont e pour
limite, et l'on a, en conséquence,
,. / I \'" lim iH =e.
Enfin la même chose a lieu si m tend vers l'infini négatif; en effet, si l'on pose ?7i = — jx, f* tendra vers H- x ; or on a
et puisque les facteurs i -\ et i H tendent
l48 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL
respectivement vers les limites e et i, on aura encore
lim I I -^ =
9. Supposons maintenant qu'on demande la dérivée de hi fonction a'; en donnant à œ l'accroissement //, on a
A fl' = «'+''• — a' = a* ( «^ — I ),
d'où
Posons
h ~ • Il
i''—iz=—, d'oià h
log«
la quantité m tendra vers l'infini, quand h tendra vers zéro, cl l'on aura
à a" log« iocra
mlog(i-f- — ) log ( 1+ —
\ nij \ m
faisant tendre h vers zéro et remplaçant ( i H 1 par sa limite e, on a
,. A «' da' loe a
lim -j- = -j— = a" -^— ; Il dx log e
les logarithmes sont ici pris dans un système quelconque. Si l'on adopte pour ce système celui dans lequel la base est e et que l'on nomme système de Neper, on aura log e = i, et par suite
-— - = fl'log«, ou da^=^ a^\o^ adx.
Si rt = e, on a
de* , ,
— =— := e*. ou de^ = e'dx.
dx
ET LE CALCUL IXTEGRAL. l49
10. Supposons en second lieu qu'on demande la dé/ivée de la fonction log x, le logarithme étant pris dans un système quelconque. On a
A log .r ^= log(x-f- /i) — log ^ = log (i-h
Posons
on aura
A log^
/' I ,, , , oc
-:=:—, d ou /i^=; — .
== — log iH =
passant aux limites, il viendra
,. Alog^ Jlog^ loge ,, loge ,
lim — Y~ — — 7^ — =~^' ou d\Ç)^,x= —^^—dx-,
si les logarithmes sont pris dans le système de Neper, on
aura log e= i, et par suite
, , dx « log:r =
Nous avons cherché directement les différentielles des deux fonctions a* et log Jt-, mais on sait que l'une quelconque de ces deux questions peut se ramener immédiatement à l'autre.
Applications de la formule de Maclaurin.
