I . 2 . . . /t OU
et en désignant par ô dans l'une ou l'autre de ces expressions une quantité comprise entre o et i.
Posons d'abord
on aura, quel que soit jx, F'^(^)=:e', et par conséquent
F(o) = i, F^'(o) = i; donc
.Or
I 1.2 l .2. . .[n — Il I . 2 ... «
le reste R„ tend vers zéro, quel que soil^; en effet, le facteur e^"^ reste fini quand n augmente indéfiniment, et la quantité
/ytfl /v* Art jy%
=-.-■>.- tend évidemment vers zéro, car elle est
un produit dans lequel les facteurs supérieurs à i en valeur
absolue soni^n nombre limité, tandis que le nombre de ceux
qui sont inférieurs à i et même à une quantité quelconque
donnée, peut devenir plus grand que tout nombre donné. On
aura donc, pour toutes les valeurs de x.
Posons en second lieu
F (x) = cos X -i->sin.r, >. étant une constante; on aura
'F'"-(x)=^ cos ( ^ -;- y. - I 4- > I \ 2;
sin X -\- '}. - 1
ET LE CALCUL LNTEGRAL. IJl
et, pour X -—o,
F (x) = I , F' {x) = - 1, F" {x)=--t, ¥'" {x)=:^ + l,F-^{x)=:ï,... Le reste R„ est ici
— cos ( 0^ + — I -f- X sin (qx ->,- — ] )
el il tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, pour la même raison que dans le cas précédent; on aura donc
cos X + A sin ^ — I n- > \
d'où l'on tire
cos.r := I —
sin X =^ H-
1 1.2.3 1.2.3.4-5 formules qui subsistent pour toutes les valeurs de x.
12. Soit maintenant F (^) = log ( i +.37) , la caractéristique iog désignant un logarithme népérien. On a
Yi'{x) =
(-tr-'...2... (p.-i)
et, pour x=^o,
F(.r)^o, F'(.r) = i, r'{x) = ~i, F"'(^) = +i.2,..., Yy-{x)=.{-ir-' ..2...(fx-i).
On aura donc
, . t-V iX/ lAy . . tA/
log(, + ^) = -.„-H-^-...+(-,).-- + B.; voyons ce que devient R„ quand n tend vers l'infini.
l52 NOTE SUR LE CALCUL DIFFEKEXTIEL
Supposons d'abord x>>o, la première expression du reste donne
si X est inférieur à i ou égal à i, la fraction ne pourra
surpasser l'unité et par conséquent R„ s'annulera pour n=^zo ; on aura, en conséquence,
cX^ lA^ •^ *^
(3) log{i -'r:r)=: - — — — ^ -h
Si l'on a ^ I> 1, la série qui forme le second membre de cette formule n'est pas convergente, et il est évident par cela même que la limite de R„ ne peut être zéro.
Supposons maintenant ^•<o et faisons a: =^ — 2, on aura, en employant la seconde expression du reste,
z — 62 on voit que si 2 est <] 1, la fraction r— sera elle-même in-
férieureà z, et R„ s'annulera pour n=:a) ; la formule (3) subsistera donc pour les valeurs de x comprises entre o et — i; cette formule n'est pas en défaut pour x= — i, puisqu'alors les deux membres deviennent infinis. Quant aux valeurs négatives de X au-dessous de — i, il n'y a pas lieu de s'en occuper ici.
On peul donner une forme très-simple à l'expression du reste de la série (3); effectivement, x était compris entre o et i, les termes de la série (3) sont alternativement positifs et négatifs; en conséquencel'erreur commise, en s'arrètantàunterme quelconque, est moindre en valeur absolue que le premier des termes négligés et elle a le signe de ce terme. On peut donc écrire
(4) iog(i +^) =--- + ... + (-1)"-' H(-i)"ô-,
S désignant une quantité comprise entre o et i ; cette expression du reste se déduit facilement de celle donnée plus haut.
ET LE <:ALCrL IXTEGRAI.. ïi^
Supposons en second lieu que a: soit négalif, ou plutôt changeons a; en — x dans la formule (3) qui devient
— log (1—^)1= —H h...; la somme des termes qui suivent
le ( « — I )'^"'* , savoir 1- ~ -1- . . . , est positive et inférieure
a — (i+x+a:' + .,.), c'est-à-dire inférieure à —, /, on
peut donc écrire
(ty* /y" 2 yy>fl — I rt /y^H
5) — Iog(l -^-j =:r -H h- . . • -+-
6 désignant encore une quantité comprise entre o et
Fonnide du binôme.
13. L'expression (i -f-^)"" est susceptible de plusieurs valeurs, sauf le cas où m se réduit à un entier positif ou négatif; mais si x est compris entre — i et -j- co , l'une de ces valeurs est réelle et positive, et c'est la seule que nous considérons.
Soit
Y{x)=.{i-\-x)"', d'où
^i^{x)=^ m [m — i). . .{m — f/. -t- i)( i -f- jc)'*, on aura, pour x =^0,
F(x) =: I , F-^fx) — m [m — i )...(/» — ^ -i- i), et, par suite,
h-\-xY=i-\ X -\- • • • H ^^ ■- / , 'jf"-'-i-R„.
Quand m est un entier positif, le reste R„ se réduit rigoureusement à zéro, si l'on y fait 11^=^ m -{-i. Faisons abstraction de ce cas et supposons d'abord ^^o; on a, en employant la pre mière forme du reste,
„ __ r mx {m — I ) ^ {m — 2 ) r [m — n~\-i)x~\ i
" "" L ï 2 3 ■ ■ ■ nT J {i-i-Ox )"-'"'
Laci;oi\, Caic. dijj'., II. I i
i54 NOTE siii LE <;aixiti- diffékextiel
Si X esl-< r , la quanlilé entre crochets tend vers zéro quand n
tend vers l'infini ; en effet, si l'on remplace n par n-\- i, celte
, „ (/» — n)x l m-^-iX quantité acquiertlelacteur ^ — ou — x\ i — qui
tend vers la limite — x quand n tend vers l'infini. 11 s'ensuit que la quantité que nous considérons est un produit dans lequel les facteurs plus grands que i en valeur absolue sont on nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur absolue est inférieure à i et même à une quantité quelconque comprise entre x çx i, peut devenir plus grand que tout
nombre donné. Quant au facteur;^ ^ — •> il peut se ré-
duire à i si 6 tend vers la limite zéro, mais en aucun cas il ne surpassera l'unité. Il résulte de là que R„ tend vers zéro quand // tend vers l'infini, si x est compris entre o et i ; on aura donc, dans cette hypothèse,
, , , , m m[m — i) , niim — i)(m— 2) ,
Si ^ est ^ I, la série contenue dans le second membre de la formule ( i ) est évidemment divergente et il s'ensuit que R„ ne peut tendre vers zéro quand n tend vers l'infini.
Supposons maintenant x<Co et posons a; = — z', en employant ici la seconde forme du reste, on a
Quand n tend vers l'infini, le facteur entre crochets tend vers
zéro, si -z est <[ I, comme on l'a vu dans le premier cas; quant
mz / I — 9 \"-' ., , .
au facteur — ; — ,— ? il tendra aussi vers zéro,
à moins quQ 6 ne tende vers la limite zéro, mais alors sa valeur sera finie et au plus égale à mz. 11 résulte de là que R» tend encore vers zéro, et en conséquence, la formule ( i ) s'applique aux valeurs de x comprises entre o et — i ; dans le cas de :r <; — i, la série ( i ) est évidemment divergente.
ET LE CALCUL IXTÉGKAL. i55
14. L'analyse précédente montre que la formule (i) subsiste pouriouleslesvaleursdearcomprises entre — lel + i; mais elle n'apprend rien à l'égard des valeurs limites — i et H- i. Je dis que si la série ( i ) reste convergente pour x = ±^, la somme de cette série sera nécessairement égale à (i ih i)'"; en effet, les deux membres de la formule ( i ) étant égaux pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et 4- i, et chacun de ces membres tendant vers une limite déterminée, quand x' tend vers lai imite d: I, ces limites sont nécsssairement égales entre elles. La fornmle (i) subsiste donc pour les valeurs limites — I et H-i, pourvu que la série du second membre reste convergente; nous allons étudier ici cette série en elle-même, et rechercher les cas dans lesquels la convergence persiste pour
En désignant par u„ le terme général de la série ( i ), on a
m (m — 1 ) . . .{fv — w H- 3. )
