n — i) d'où

Un n V 'i y

on voit que, dans le cas de ^ = di i , les termes de la série ( i ) croîtront indéfiniment en valeur absolue, à partir d'un certain rang, si m-hi est négatif, et ces mêmes termes seront égaux entre eux si m ■+- i est nul ; il est donc nécessaire pour la convergence de la série que m -f- i soit positif.

Cela posé, quelques-uns des facteurs du numérateur de w„ peuvent être positifs; désignons par 77i — p le premier de ceux qui sont négatifs, on pourra écrire

en prenant 7i supérieur à (x, et en observant que, si tii est négatif, il faut faire p'=o, puis remplacer par l'unité le premier facteur entre crochets.

Mais, d'après les formules (5) et (4), du n° 12, on a, pour

lâ6 NOTE SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

loule valeur de z comprise enirc o et i

-!og{i-.)=.-.-^-^, los(i-.) = .-^,

et 6' désignant des quantités comprises entre o et i, et a caractéristique log exprimant des logarithmes népériens. Si l'on représente parp l'un des nombres f/ ^- i, p-}-2, . . . , on aura, par les formules précédentes, en se rappelant que nous supposons wi-f-i positif,

, / m-\- \\ m-^ i \ p I — log I = i

cl si l'on retranche ces équations l'une de l'autre, après avoir multiplié la seconde par m -}- i, on aura

— log I W- m + i log-^— = -\ hO'

dans cette formule, le dernier facteur du second membre

est positif et il est inférieur à 1- i ; à plus forte

raison ce facteur est mierieur a i-i,c est-a-direa

-t- T, puisque p est au moms égal a p + i. Si

donc on désigne par e^ une certaine quantité positive et inférieure a — -h i h on pourra ecriie

log ( I I = (m + i) log -i-

Si l'on donne à p les valeurs ^l -\-i, u. — i. . . . [n — i), et que

l'on ajoute les équations résultantes, on aura

iSy

log I

= {m-\-\) log

la somme

h I / \ 1^ + 2/ V n — ij

se réduit à une série convergente quand n devient infini, car

la série

est, comme on le sait, con-

vergente, et les quantités s, qui sont toutes positives, ne peuvent dépasser une limite que nous avons assignée. Désignant donc par log S la limite de la série dont nous parlons, et par Ç„ une quantité qui décroît quand «augmente, et quis'annulepour n = co , l'équation précédente pourra s'écrire comme il suit

= (/7H-i)log

logS-i-log{n-(:„),

ou, en revenant des logarithmes aux nombres,

/ /?? + t\ / m-\-\ \ / /n + i\ (f/.+ iy"+i (i + rj

La valeur de Un sera donc

w«= (— I c'est-à-dire

u, m{m — \)...{m — fz-j-Q f^ + Q^+nf — x)"-'

c désignant une constante indépendante de n, et ç„ étant, comme nous l'avons déjà dit, une quantité qui décroît quand n augmente, et qui s'annule pour n=:QC .

l58 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

Supposons maintenanl que l'on ail a: = + i ; les termes de la formule du binôme sont, dans celte hypothèse, allernativenicnl positifs et négatifs à partir d'un certain rang, et l'on voit, par la formule (3), que ces termes décroissent indéfiniment si m + i est positif ; donc dans ce cas la formule (i) reste convergente.

Supposons, en second lieu, ^ :::= — i , la formule ( 3 ) montre ijue les termes de la formule du binôme décroissent comme

ceux de la série 7 : or, pour que cette dernière série soit

convergente, il faut el il suffit que m soit positif; telle est donc aussi la condition de convergence de la série ( i ).

On voit, en résumé, que la formule du binôme subsiste : i" pour x = i, dans le cas seulement où m est compris entre — I et H- 00 ; 0° pour .r ^= — i, dans le cas seulement où m est compris entre o et co . Ainsi l'on aura

m mim — i) mi m — i)(w — 2)

si — I <^ wi <^ -h îc ,

si o <^ /« <^ -f- co .

Des fonctions expo7ientielle et logarithmique, dans le cas où la variable est imaginaire.

lo. Si les deux séries

^/u 4- "f + i/j H- . . . -r «„ H- . . . , t'o T- <■'. -r- Cj H- . . . H- ('„ H- - . .

sont convergentes et que leurs sommes soient respectivement n et V, on dit que la série

("o4- t'o si — i) + [u, -\- f, y/' — 0+- • • + ("« H- v„\j — i)-r . . .

est convergente et a pour somme m+ v\J — i.

Cela posé, soit z une variable réelle ou imaginaire, dont

nous désignerons le module par p et rargumenl par w, en sorte que l'on aura

z = cos w + V" ' sin 0) ; la série i + - H — ■ h • • • convergeant vers la limite eP, il est

évident que les deux séries

p cos w p' cos 2 w û' COS 3 (,>

psinw p^sinaw p'sinSw

seront aussi convergentes; donc il en sera de même, d'après notre définition, de la série imaginaire

p'' cos w -h V— I sino)^ ^ p^'' C0S2W+ y/ — isinsw)

c'est-à-dire de la série

Quand z se réduit à une quantité réelle, la somme de cette série est e% et il est naturel d'étendre la même notation au cas où la variable est imaginaire; ainsi la fonction e* sera définie par l'équation

Les considérations précédentes s'appliquent sans modification aux deux séries

et

qui restent convergentes, quelle que soit la valeur imaginaire allribuée à z; ces séries ayant pour sommes cos^etsin z

l6o NOTE SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

respeclivement, quand z est réelle, elles nous serviront à définir ces fonctions dans le cas où 2 est imaginaire; on aura donc encore, par définition,

{2) COS Zr=\

[3) sin 2 =: - —

Si l'on change dans l'équation (1)2 d'abord en z\ — i, puis en — 2\/ — I, on aura

L 1.2 1.2.3.4 j ^ Ll 1.2.3 J

ou, à cause des équations ( 2 ) et ( 3 ),

( e-^-' = cos 2-1- V''— I sin 2,

\ e~*^-' = cos 2 — y/ — I sin 2,

formules où 2 désigne toujours une quantité réelle ou imaginaire quelconque; on en tire

(5) cos 2 = , sin 2

Les fonctions tang z, colz, séc 2, coséc2sontdéfinies,quand z est imaginaire, par les équations

//? \ ,„ , sin 2 C0S2 ,1.1 (bj tang2 = — ^,cot2 = — — , sec 2— ■,cosec2

cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

ce qui s'accorde, dans le cas où 2 est réelle, avec les résultats tirés de la trigonométrie.