Quand 2 et 2, sont réelles, on a, comme on sait

ET LE CALCUL INTEGRAL. lUI

et il est facile de s'assurer qu'effectivement, si l'on exécute les opérations indiquées dans les deux membres, les termes semblables seront identiquement égaux de part et d'autre. Or celte identité ne sera point altérée si z et 2, désignent des expressions imaginaires; par conséquent l'équation fondamentale

(7) e=Xe'' = e'+='

aura lieu, quelles que soient z et z,; on aura donc aussi pour un produit de m facteurs

e'- X e^' X . . • X e'"'-' = e'+--'+"-+-m-i^ et, si tous les facteurs sont égaux, on aura

Si l'on change dans l'équation (7) z et -, ei\z\l—i ci z,\l — I, puis en — z \j — i et — r, s/— i, on aura, d'après les formules (4),

cos(3 4-3,)4-v/^sin(.;4--,) = (cosz + v/~sinz)(cos2^ + v/— isin3,), cos(z + z,) — \/--^ si 11 (s +3,) = (coss — v/— I sine) (coss, — \/— isins,)-

en ajoutant ces deux équations et en les retranchant ensuite l'une de l'autre, on obtient

( cosf:; -h ^i) = cosz cos 2, — sin z smzx ,

( sin (:; -h ^i) = sin zcos^, + cos2sin2, ;

ces formules ont lieu pour toutes les valeurs de ;: et de^,, et il en est évidemment de même de toutes celles que l'on en déduit dans la trigonométrie, en se bornant à considérer les valeurs réelles des arguments.

Pour donner une application de ce oui nrécède, cherchons

à meure les fonctions e', cos :;, sin z sous la forme a -\- h \i — i, flans le cas où l'on suppose z = x -f-j y/ — i, ^ et j'élanl des quantités réelles.

Les équations (7) et (4) donnent d'abord

(9) e^+r"^' = e'.eJ''-' = e^ (cos j4- v^^ sin y)\

les équations (8) et (5) donnent ensuite

cos(,^H-rV — '/ = cosx — V — I sin x,

sin \x 4- rv — 1; = sm^-h v'— ' cosa:.

Si ^ =: o, on a

Enfin on a

cos(jv-0 = — -

sin i/V — I, — V — '

/ / — -, sin(^-!-rv' — ')

tang(^+jV — ';-^ 7 , V

cos^^x-f- jV —

2sinf:r -\-y\l — i)cos(^ — rv^ — sin 2^-hsin (2/v'— J '

2 cos(.r +/v/— ijcos(x — jv — cos2x+cosf2jy/ — i]

et à cause des formules (11)

sin 2 ^- -H y/ — I

( • "^ ) tang (x -T- jv'— 1} =

eV-\- e-v

cos 2 a: H

formule qui, pour x =^0, se réduit à

(<3) tang(;>"V^) = J^|i^V-T-

17. Nous nommons logarithme népérien d'une variable réelle ou imaginaire z, l'exposant de la puissance à laquelle il

ET LE CALCUL LNTÉGRAL. i63

faut élever e pour avoir :;. Posons

z =p (cos w 4- V — I sin w) ou -=■ pe"*-'.

Si :j a un logarithme népérien x -t- jv^— ij on aura

e*+.^*^=:p(cos&i + s/ — I sinu), ou

e' (cosj4- y/ — 1 sin j) = p (cosw + \'—i sin w),

c'est-à-dire

e' cosjy'r^ p cos w, e' sin^= p sin w.

On tire de là e-'=r p», d'où e' = p, et par suite cos7==cosw, sin /=: sin w, d'où j=w -i- 2 Att, Jf désignant un nombre entier indéterminé, positif, nul ou négatif; d'après cela, on aura par notre définition

log (p cos w H- V — ' P sin w) =: logp + (td H- 2 k7z)\/—i^

en sorte qu'une expression imaginaire a une infinité de logarithmes qui se déduisent tous de l'un d'eux par l'addition d'un multiple de la circonférence et de y/— i-

L'argument w de la variable z peut toujours être pris entre — TT el-j-TT et la \a\euv principale de log 2 sera logp + wy — i.

Développement de la fonction log ( 1 + z). eîi série ordonnée suivant les puissances de z, dans le cas oà le modale de cette variable est inférieur à i ,

18. Désignons par z une variable imaginaire de module p et dont l'argument w soit compris entre — tt et + -• Soient aussi rel-^\e module et l'argument de la fonction 1 + 3; on aura

z -~ p cos w -T-\/ — I psin w, I + 5 =r rcos^ + \^ — i /'sin^J;,

et, par conséquent,

(i) /■ cos -j; ^=t 1 4- p cos w, /'sin-J/ = p sin M,

d'où l'on tire

psin w

'2) ,.— y/, |2pcosw^-p^ tangi{/ =

I + p cos w

l64 r.OTE SUR LE CALCUL DIFFÉUEXTIEL

i , , , . osino)

La première des équations ( 2 ) ou { 3 ) détermine le module r, qui est positif; quanta l'angle -li, il n'est déterminé complètement ni parla deuxième équation (2), ni parles équations (i), qui font connaître son cosinus et son sinus. Mais, comme l'hypothèse p = o donne r = i , cos ^ = i, sin ^}< =^ o et que l'on satisfait à ces dernières équations en prenant i)^ = o, nous achèverons de définir l'angle -^ par la condition qu'il soit une fonction continue de p, s'annulant pour p =; o.

Si l'on différentie les équations (3) en regardant oj comme constante, il vient

f/Iogr cos w 4-0 d-ii sin &j

drj I H- 2 p cos w -f- 0- dp 1 H- 2 p cos &) + p

d-h la deuxième de ces formules montre que la dérivée -,- coh-

serve le signe de sinw, donc -h est une fonction de p qui est constamment croissante si w est compris entre o et tt, et constamment décroissante si &i est compris entre — tt et o. Or on a par les formules ( 1 ) et ( 2 )

/•=i, cosiî> =: I, sin •>!> — o, pourp=o,

/•=z2COs|oi, cos-^ == cos|w, sin^î^ —sinyo), pourp = i, r=Qo, cosi{( -= cos w, sin 1}' ==sin w, pourp=co:

d'ailleurs, la deuxième équation (i) montre que sin-i ne s'annule jamais, à moins que l'on n'ait sin w = o, cas dont il n'y a pasà s'occuper; donc, quand p croît de o à 20 , r^ croît ou décroît constamment de o à w, et l'on a -i^ jw pour = 1. On voit aussi, par la première équation (4), que si cos w est positif, /' croît de o à co quand p croît lui-même de o à co ; au contraire, si cosw est négatif, r décroît de i à -h V'sin'w et croît ensuite de 4- v^siu^ w à -j- od •

ET LE CALCUL INTEGRAL. iGj

19. Nous nous proposons ici de développer, par la formule de Maclaurin, les fonctions log r et -^ en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de p. Pour cela, il nous faut obtenir les dérivées des divers ordres de nos deux fonctions; on y parvient très-aisément en procédant comme il suit.

Si l'on ajoute les équations (4) a[)rès avoir multiplié la seconde par \/- — I, il vient

cl log r , d-i> p -f- ( cos w + v' — I si n 'ù\

~ hv 1 -T- = ' —

dp dp p2 -i- 2 p cos w + 1

Orledénominateur du second membre eslprécisémenile produit du numérateur par l'expression conjuguéep-i-(cosw — y/ — isinw), on aura donc

dlosr I d-^ r

*-h ' f/p p4-(cosw — v/— isinwj

Si donc on différenlie [m — i)fois les deux membres par rapport à p, on aura

d"'\os,r I — à" -h

rr{ — i)'"-' I .2. . .(/Ji— l)

^p-i-COSw — V ' Sniwy'"

on aura aussi, en changeant v' — i en — v — '?

d"' log r I d'"-!^

dp'" ^ ' dp'"

' (p + coscu-h-y — isniw/'

d'où

d'" loiî r

dp"

(p-f-cos&j— v' — I sin w)-"'-T- fp-hcos&3 -f-v' — i sin&))"

d p " p + COS&J — v' — • sinto)"'" — (p-!-cos&)-4-v' — i sin w)-

lG6 NOTE SUR LE CALCUL DIFFEIIEXTIEL

enfin, si l'on fait p = o, les équations (3), (4), (5) donnent d\o3:r d"'\oar , , ,

l0g/'=O, 7-^^=C0Sw, j— 2=( 1)-"-' 1.2. ..(m — l)COS/?îw,

d-^ . d'"-ii , , ,

^ f/f, dp"' ^ ' ^

par conséquent, on aura par la formule de Maclaurin,

,^ psina . r -'sin2(o ^ p-' sin (n— i) .. ^ ^^,

Si jo est <[i, l'angle -l est compris entre o et -jw; je dis que dans ce cas les restes R„ et lV„ tendent vers zéro, quand n augmente indéfiniment.

Désignons en effet par Oune quantité comprise entre o et i, et posons

ôp -h cos w= ircosa, sin &j ^- t siua ;

représentons aussi par R et ^ le reste R„ et la quantité cos «a, ou le reste R'„ et la quantité sinna, on aura ces deux expressions de R :

la valeur de c' est

(7- = I H- 2 Op cos w -^ ô- p' ;

et par conséquent si cos w est positif, on aura o-^i; dans ce cas, la première expression de R montre que R„ et R'„ tendent vers zéro quand ?i tend vers l'infini, pour toutes les valeurs de p comprises entre o et i. Si cos w est négatif, la valeur précédente de a^ donne

«7'> I -2 ôp + 6'p' >(i - 9pr>(p — ôp)'; donc la fraction ^^ *^ est inférieure à i, et l'on voit, par la

deuxième forme de K, que R„ et R,' tendent encore vers zéro quand n tend vers l'infini.

On aura d'après cela, pour les valeurs de p comprises entre o et I ,

/ - p COS w c- COS 2 w l log /■ == ^-

rj^