COS 3 M

sin 3 M

i , sm w p^ sm 2 w

Ces formules (7) sont d'un usage très-fréquent dans les mathématiques appliquées et particulièrement en astronomie. Il faut observer que, pour le calcul, il faut multiplier le second membre de la première par le module M des logarithmes vulgaires et diviser le second membre de la deuxième par sin i"; on a ainsi

, I ; — : ,,rpCOSw p'C0S2w p'COSSw "1

IOgVH-2pCOSw-f-p' = M ^- ' f ' ... 1

psinw r"psinw p'sin2w o^sinSw 1

arclang— ^^ ^ ^- — - — '^—. — ^ -;- ' . ,, , ... h

i-r-pcosw Lsin I sm 2" sm3" J

en écrivant sin^", sin 3",. . . , au lieu de 2 sin \" , 3 sin i" ,. . . , ce qui est permis, tant (ju'on ne prend qu'un petit nombre de termes de la série.

Si l'on ajoute les formules (7) après avoir multiplié la seconde par v' — ï> il vient

. , p(cosw+v/ — isinw) p°(cos2w-<- v/r sin2&))

log r-i--^ \/— « ='^^ -^ '- i

f ( COS 3 w 4- sj — I sin 3 w )

( r la somme logr-h-^ V^— i n'est autre chose que la valeur principale de l'expression log {1+2); on a d'ailleurs 2" = p" ( cos n w -f- v^ — isinn&j); donc la formule précédente peut s'écrire

z z" 3* (9) log(i-f-z) = ----i--^-..

lG8 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

Cette formule (9), établie précédemment pour les valeurs dez comprises entre — i et -1- i, subsiste donc aussi, en réduisani log(n-z)àsa valeur principale, pour toutes les valeurs imaginaires de z dont le module est inférieur à i ; elle équivaut, comme on le voit, aux deux formules (7) qui ne renferment que des quantités réelles. Il convient de remarquei

que la deuxième équation (7) donne, en y faisant o» —dz- et

psin w = Xf

X x^ x^ \ 10) arc tang :r= +-^— ...,

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et -i-i, et (jui suppose le premier membre compris

entre — -7 et h- -7- • 4

Sur l'expression de la différentielle d'un arc de courbe plane ou à double courbure.

20. Le périmètre P du polygone, inscrit dans un arc de courbe C, tend vers une limite déterminée, lorsque ses côtés tendent tous vers zéro.

En effet, soient x, y, z, et ^ 4- \x, y^ -r- Aj, z -\- ^z les coordonnées des extrémités d'un côté c du polygone, relatives à trois axes rectangulaires, on aura

\l^x- + iir->+ \z^ = ^x sJ '-^3^1

Âx^

les rapports -^-1 ont respectivement pour umites / et

^^ \x ^x * dx

-j—1 quand àx tend vers zéro; on a donc

/ /" ch' dz^ \

en désignant par e une quantité qui s'annule avec \x. Si l'on prend x pour variable indépendante et que l'on fasse

^ , df^ dz^

dx'^ dx ^

Y sera une fonction donnée de x el l'on aura

puis le périmètre total P du polygone inscrit sera

P = sYA^H- Ziix.

Cela posé, construisons dans le plan x,y' la courbe C dont Y est l'ordonnée el désignons par A l'aire comprise cntrela courbe, l'axe des x et les ordonnées qui répondent aux abscisses extrêmes ^0 et Xi. Supposons en outre cette aire décomposée en trapèzes élémentaires ayant pour bases les àx; l'expression de ces trapèzes sera Y \x -{-n^x, n s'annulant avec ^x, et l'aire A elle-même sera

A = SYA^ -+- Sy;Ax,

on aura donc

P = A 4- ^ jA ^ — irAx.

Cela posé, si s' el/i' désignent respectivement celui des £ et celui des -n qui ont la plus grande valeur absolue, les sommes iz\x et ^ri\x seront respectivement moindres en valeur absolue que s'sAx el -n'iXx, c'est-à-dire moindres que £'(^i — ^o) el y/(a', — ^0); mais s' et /)' s'annulent en même temps que les A ^, donc les sommes le A x et :S/;A.r ont pour limite zéro,

et l'on a

limP^A.

Le périmètre du polygone inscrit dans un arc de courbe tendant vers une limite déterminée indépendante du mode de division de l'arc, lorsque ses côtés tendent vers zéro, cette limite est dite la longueur de l'arc de courbe.

11 est facile maintenant d'avoir la différentielle de l'arc 5 de la courbe C, dont l'une des extrémités est supposée fixe el l'autre variable. Cette différentielle ds sera égale, d'après ce qui précède, à celle de l'aire A, laquelle est Ydx, et en remettant pour Y sa valeur, on aura

f/5 ==; 4 / n ! — f- dx — \fdx' -T- dr^ + dz' -

y cLx' dx''

On peut déduire de là que le rapport d'un arc de courbe à sa corde a pour limite l'unité, quand l'arc tend vers zéro. Soient

Lachoix, Cale, diff., II. 12

IJO XOÎE SIR LE (AUXL DIFFEREXTIEI.

en effet c la corde qui sous-tend l'arc A^, on a

\/AX'-h ÛJ---T

^ Ax- Ax'

lim —

/ dy'

dz^ dx'

\jdx-

-T- dx'+ dz'

21. On peut obtenir de la manière suivante le développement en série de la différence entre un arc de courbe et sa corde. Soient x, y\ z, les coordonnées rectangulaires de l'extrémité variable de l'arc s, et Ax, Aj% A 2 les accroissements de ^,j, z qui correspondent à l'accroissement As de s, on aura par la formule de Maclaurin

Ajc = -y- A^ +

d''x As- d'x

ds^ 2 ds^

As'

-^ ds

d\rAs' d\r ds' 1 ds-'

As'

Az = -rAs ^' ds

d'zAs' , d'z ds' -2 ' ds-^

Posons aussi

s/Ax^-i- Ay'-^AZ' = A5-i- A, A*- -+- A, Aa--' 4- AsAi'-^-. . . ,

élevonsQu carré cette équation et remplaçons ensuite ax, a y, az, par les valeurs écrites plus haut ; on trouvera, en égalant les coefficients des mêmes puissances de a^,

i.rdx d^ X dy d'y dz d'z 1 6 L ^5 ds' ds ds' ds dr J

1 r / d'xy ut-yV (d'z. \

• sLl^J +1^) ^MJ

I Vdxd^x dyd\y dzd^zl

24 L <'* ^^** '/* ds^ ds ds^ J ' I rd\rd'x d\yd\y ^d'zd'zl 1 2 | ds- ds' ds- ds-' ' ds- ds^ J '

"^fais on a, en désignant par p le rayon de courbure à rextréaiilé de l'arc s,

ds' ] [ds'-J ^ [ds'J —p^'

d'où l'on lire, par la différeniialion,

d — d^x d^x d-yd^y d-zd^z i p-

ds- ds^ ds^ ds^ ds' ds^ 2^/5 ' ensuite si l'on différentie trois fois de suite l'équation

idx^\- fdy\'' [ d^V

Ts +1/7) -^U' =^

il vient, en ayant égard aux formules précédentes, dx d^x dy d\y^ dz d-z

lis ds^ ds ds' ds ds-

dxd^x dy d^y dzd^z ds ds^ ds ds^ ' ds ds^

d — dxd'x dy d*y dzd^z 3 0-

ds ds* ' ds ds* ' ds ds* 2 ds

et au moyen de ces formules on aura

par conséquent

\llx''-^^)-+ \z- ^ \s

24 p^ ds 48

les termes ou troisième et du quatrième ordre ne dépendent que de la courbure -: l'influence de la seconde courbure ne se manifeste qu'à partir des termes du cinquième ordre. La for-

mule précédente peut s'écrire comme il suit

Ai' A5' I I

48 p' 4<^\r>' ds /

mais si p, désigne le rayon de courbure à rexlrcmité de l'arc s -f- as, on a, par la formule de Maclaurin,

ce qui permet d'écrire

V'Aa^--A}'2-^As^ = A5— -+ ,.

en négligeant seulement les termes du cinquième ordre en a s. Si l'on applique cette formule au cercle derayon i on aura p=p,== i et si l'on désigne l'arc a 5 par ia, la corde v'A-^^ -j- At'-i- a ;;' sera asina; la formule précédente devient alors

snirt = « — -ri o

ce qui fournit une vérification de notre calcul.

Sur l'intégrale de la différentielle f{x)dx.

22. 11 est nécessaire d'établir l'existence de l'intégrale d'une différentielle donnée f{x)dx. A cet effet, il suffit de considérer la courbe plane dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est y^=f{x); l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses, une ordonnée fixe arbitraire et l'ordonnée j ou f{x) est une fonction de x dont la différentielle eslf{x)dx (t. I, p. 75). Si donc on désigne par ¥{x) cette fonction, on aura

d¥{x)^=f{x)dx.

On voit que la fonction T {x) n'est pas complètement déterminée, puisque l'aire qu'elle exprime est comptée à partir d'une ordonnée fixe qui est tout à fait arbitraire; on peut

changer celte ordonnée à volonté, ce qui revient évidemment à ajouter une constante à la fonction F (^); enfin, comme deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer entre elles que par une constante (n° 2), si l'on désigne par C une constante arbitraire, F(^)+C sera l'expression générale de l'intégrale àe f[x)dx, et l'on écrit

(0 F(:r)-|-C= ffix)dx.-

On peut déterminer la constante C par la condition que l'intégrale s'annule pour une valeur donnée Xo de x, pourvu cependant que F(^) ne devienne pas infinie pour xz=zXo; il suffit effectivement de poser

F(xo) + C = o, d'où C = — F{^„),

ce qui réduit le premier membre de la formule précédente à F{x) — F(^„); et si l'on donne à x la valeur particulière X, ce premier membre prendra la valeur déterminée F(X)— F(^J. Cette valeur est, comme on le voit, celle que prend, pour x = X, l'intégrale de la différentielle f{x)dx, assujettie à s'annuler pour x = o ; on la représente par la notation

/ f{^)dx, et l'on a, en conséquence,

(2) F(X)-F(^„)=^ ('^f[x)dx.

Le second membre de la formule (i) est dit V intégrale indéfinie de la différentielle f{x)dx; le second membre de la formule (2) est au contraire une intégrale définie.

On peut toujours donner à une intégrale indéfinie la forme d'une intégrale définie, ce qui offre souvent de l'avantage.! En effet, si dans l'équation (2) on remplace la valeur déterminée X par la variable x, on aura

(3) r(^) — F(^„)= r f{x)da:,

et si l'on élimine F(^) entre les équations (i) et (3), puis qu3

174 XOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

l'on écrive C au lieu de C + F(:ro), on aura (4) /./(■^)^^-^= / f{x)dx-\-C

23. La fonction F(:f) ayant pour dérivée /(^), si l'on pose X — .To= mh, m étant un nombre entier positif, on aura, d'après le théorème du n" 2,

r(X)-F(^.)^(X-x„)lim-f^^'^+-^^^"+^^^-^-+-^^^-+^^^^^''

pour // — o, ou

F{\)—V{x\.)^--Aim[hf{xo)-rhfix,-]-h)-^...-hhf{x,^'m-^i/i)] ou, enfin, d'après l'équation (2),

f{ar)(/a:=z\\m ^^ j[x)dx ;

qui exprime que l'intégrale définie 1 f{x)dx est la li-

mite vers laquelle tend, pour dx = o, la somme des valeurs de la différentielle f{x)dx, quand x varie de x^ à X, par intervalles égaux à dx. Nous supposons ici, bien entendu, que la fonction /(:r) reste finie, quand x varie de ^0 à X.

Sur les intégrales multiples.

2i. La recherche des volumes terminés par des surfaces courbes et celle des aires de ces surfaces se ramènent, comme on l'a vu, à la détermination d'intégrales doubles, qui, dans le système des coordonnées rectangulaires, ont pour expressions générales

//-./.rf,., jj.te/,y,^^*y

D'autres questions conduisent aussi à des intégrales triples^ quadruples, etc., et, dans tous les cas, l'intégration doit s'étendre à toutes les valeurs des variables qui satisfont à cer-

ET LE CALCUL INTEGRAL. î 7^

laines conditions exprimables par une ou plusieurs inégalités. Lorsqu'on peut effectuer l'intégration relative à l'une des variables, l'intégrale multiple se réduit à une intégrale d'ordre inférieur d'une unité et, quand il n'en est pas ainsi, on peut quelquefois opérer la réduction par un changement de variables.

Considérons, par exemple, l'intégrale double

(i) 1= j JYd.rdy,

dans laquelle V désigne une fonction donnée de .r et r, et supposons qu'on veuille substituer aux variables x et y deux nouvelles variables u et v, liées aux premières par deux relations données. Quelle que soit la portion du plan des a:y' qui comprend les points {x, y) auxquels l'intégration doit s'étendre, l'intégrale 'c, se composera d'un ou plusieurs termes de la forme

Z^J \lx- j '\dy'.

)o et y\ désignant deux fonctions données de x, ei Xo, .r, étant deux constantes. On peut évidemment supposer que y et x croissent constamment de la limite inférieure à la limite supérieure, ce qui revient à dire que dx et dy sont positives. Cela posé, des équations doimées entre x, y, u, v, on peut tirer la valeur de y en fonction de ^ et de c-; soit

et considérons l'intégrale l Vr/r où x peut être regardé

comme un paramètre constant. Si l'on y remplace j par /(x, p),

, df{x, v) j ,, , . , f ■' . J/'f.r, c) ay par ■' • «i', elle deviendra i V ~ — ,-— dv, v^ et

f, étant les valeurs de v qui répondent à y = }\, y =z y\. Nous supposons ici que v varie toujours dans le même sens, quand y varie de j'o à y\ ; s'il en était autrement, on rentrerait dans cette hypothèse en décomposant l'intégrale relative à / en

Ij6 NOTE SUU LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

plusieurs parties. Comme dr est supposé positif, dv a lo signe

dfiv v) , , ,

de • , ' — -\ si cette dérivée est négative, on peut ramener dv

dv à être positif en changeant les limites de l'intégration, en

sorte que l'on aura

^,df{x,v) ,,. , , , , , dfix, v) ,,.

db • ■ désignant la valeur absolue de -^^-—j ■> et 1 ni-

légrale relative à v étant prise entre les limites v^ et f, ou t-, et Vo. D'après cela, la valeur de 'c, sera

Ce résultat nous donne le moyen d'achever la substitution que nous avons en vue; car soit

x=^Y {u, v) t t-; du, et l'on aura

la valeur de x en u et v; il suffira de remplacer dx par , c?F(m, v) du

formule où les intégrations doivent être étendues aux mêmes points que dans la formule (2).

Mais si l'on différentie l'équation y^f{x, v], en considérant X Qi y comme fonctions de u et c, on a

dy , dy df{x,v)(dx , dx , \ df{x,v) ,

-f du -{- -r- dv = -^ -7- du -V--r- dv]-h ' \ — ■ dv,

du dv dx \du dv ) dv '

d'où

dy df{ X, V ) dx

du dx du

dy df(x, v) dx df{x, v) dv dx dv dv

, dx dF(n, c)

et par suite, a cause de -7- = -,-- — '

' du au

df{x, v) dF{u, (.') dx dy dx dy

dv du du dv dv du

La valeur de t devient en conséquence

la fonction V étant exprimée en u et v.

25. On peut encore arriver au résultat qui précède par les considérations suivantes. L'intégrale ç peut être regardée comme représentant un volume composé de prismes élémentaires Y dxdf dont les bases dxdy remplissent une portion du plan xy\ Or deux équations telles que

ou u et v désignent deux paramètres variables, représentent deux systèmes de courbes, et il est clair que deux courbes infiniment voisines de l'un des systèmes détermineront avec deux courbes infiniment voisines de l'autre un parallélogramme infiniment petit dont l'aire sera dsi dsi sin e; ds^ et ds^ étant les éléments infiniment petits des courbes u et v, et i l'angle de ces éléments. Le volume que représente <; sera évidemment la somme des volumes élémentaires \ ds^dSiSmî, et l'on aura

'(^=: l I \ dSids-2 sine.

Mais X et j sont fonctions de u et v; si l'on demeure sur la courbe u, v variera seul et l'on aura

dx = -^ dv, dy = -— dv, dv -^ dv

si au contraire on marche sur la courbe v, u sera seul variable

i;8 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

Cl l'on aura

j dx j j dr j

dx = -r- du, i/r =^ -r du, du ' du

d'où

Les cosinus des angles formés par ds, ei \)ixvds, avec les axe;

dx des X et des y étani proportionnels respectivement à -.—

dr dx dy et -r ' -J- et -j- ^ on a dv du du

dx dx dy^ dy^

rnc - —

du dv ' du dv

vU)

\du) V WW ■ W/''/

f dx dy- dx r/r\ ~ \ du dv dv du j

sin £ —

idrV //dxy (dy-y

ast ds. sin e =

L f dx dr dx dr\ ~~ \ du dv dv du j '

et par conséquent

comme on l'a déjà trouvé.

Par exemple, le passage des coordonnées rectangulaires x et J aux coordonnées polaires p et w, liées à :i- et à ^' par les équations

X = p COS w, X^^ P ^"^ "'

conduira à la formule

f C\dxdr= f fypdod'^; les éléments pd pdw sont ici des rectangles dont les côtés do.

p Jw sont les éléments respectifs de lignes droites menées par l'origine et de circonférences ayant celle origine pour centre.

26. En général, si l'on a une intégrale multiple d'ordre n, telle que

Ç=:z / / . . . JYdxdx. . .dz,

et qu'aux n variables x, y,. . ., z on en substitue n autres u, f, . . . , a', liées aux premières par des relations données, on aura

f [■■■ f ydxdx- ..dz^z f [■■■ A =^- ^ ) ^ ^^"^''' • • • ^^"'' A désignant le déterminant

Tirr

Th'' ■

div

Tirr

•' da'

Ce théorème est démontré par ce qui précède dans le cas de deux variables x etj^; il suffit donc de l'établir pour n -\- 1 variables, en admettant qu'il ait lieu pour n variables.

Soit donc l'intégrale d'ordre n -h i

et supposons qu'on veuille substituer aux variables !r, y,. . ., z, s les n-i- I variables u, c, ..., a-, /. On peut commencer par exprimer les n variables x, f,. . ., z en fonction de s et des jî variables nouvelles a, v,. . , w, l'intégration relative à s devant alors être effectuée la dernière. Par ce changement de n variables, on aura, d'après ce que nous admettons

D]yds.dudi>...da',

l8o NOTE SUR LE CALCl'L DIFFEREATIEL

D désignant le déterminant

sTc'

OiV

du''

Siv

nous employons ici la lettre S pour exprimer les dérivées partielles prises dans l'hypothèse où les variables indépendantes sont 5 et M, V,..., w, tandis que nous réservons la lettre d pour le cas où les variables indépendantes sont u, v,. . ., w, t. Or, en différentiant l'une des variables x, y,. . ., z dans cette dernière hypothèse, d'abord par rapport à l'une des variables H, V. ... w, puis par rapport à t, on a

<l'où

Sx S X ds

s X ds

Su ' S s du

dt ~~ dx

os dt

S X dx

S u du

ds du

et l'on aura des expressions semblables pour cnacune des dérivées qui figurent dans la valeur du déterminant D.

Cela ppsé, dans l'évaluation de Ç, l'intégration relative à s peut être effectuée la première, après la substitution dont nous venons de parler, et d'après ce qui a été dit en commençant, si l'on exprime s en fonction de t et de u, c, . . ., w, on

devra remplacer ds par -j-dt; on aura donc

ç = f f. . f f l±Dj^y dudv . . . dwdt.

ET LE CALCUL INTEflRAL,

el l'expression de D pourra se déduire de la suivante

du^

diJ'

■•" dw

lÎTc'

dU'

' dw

dv'

■■' dw dx

djc en remplaçant 7-' • •

par

dx du

dt as

ds du^ ""

Désignons par D^ , 1)^-,. . . , D^ les résultais que l'on obtient en exécutant sur D, une, deux, trois, etc., fois la substitution circulaire qui consiste à remplacera, y, ...,2, 5 respectivement par y, . . ., z, s, x. Comme un déterminant ne fait que changer de signe quand on change l'une en l'autre deux lignes parallèles, il est facile de voir que la substitution de 5 à x,y\ . . . ,z changera D, en — Dx, — D^,. . ., — Dj , si le nombre n des variables X, y, ... 2 est pair, et en -hDx, — D^, . . . -^D, , si le nombre n est impair, les signes étant alternativement -h et — dans ce dernier cas.

Cela posé, remplaçons, dans l'expression de D^ les dérivées

dx , , dx dt ds

de X, savoir : — - 5 etc., par les valeurs —, -; — —■> etc.,

du du ds du

on obtiendra, d'après ce qui vient d'être dit, le résultat

Si dans celte expression on remplace les dérivées de/, savoir:

dy . , f/r dt ds , ,

■j-y etc., par les valeurs —. r- -7—> etc., D^rUe changera pas.

ds du Tt

car ce délerminani s'annule quand on y niel a- au lieu de j; on aura donc le résullat

dt dt .

et l'on voit facilement que si l'on remplace les dérivées des autres variables, jusqu'à celles de z inclusivement, par les valeurs indiquées, rexpression de D^ deviendra définitivement

ds ■'

dt dt

«n sorte que l'on aura

^^ dt ~"' dt^ ^' dt

Or on sait que le second membre de cette formule est préci-

sément égal au déterminant

dx dx

du dv

Tt'

du ' dv '

div

Tt'

dz dz

du^ dv^

--ÏÏTv'

ds ds

du^ dv^

dw '

dt'

on a donc

et, par conséquent,

^=Sf- ■ .fA±:^.)ydudv. . .da'dt, ce qui démontre la proposition énoncée.

ET LE CALCUL IXTEGKAL. iSî

27. Considérons en particulier les intégrales multiples qui se rapportent à l'évaluation des volumes et des surfaces courbes. On a, pour l'expression des volumes en coordonnées rectangulaires,

■C, = ffJ(lxdrdz,

et si l'on substitue à x, y, z les trois variables, //, c, a>, il viendra

Ç = Jff A du dvdiv, avec

(Ix dx dx du cl (' dw <ly (ly dy ( dx dy dx

X dr\ dz fdydz dy dz\dx /dzdx dxdz\;l/ V du ! div \du(h> d^> du j dw \dudi> dufhjdiv

du ' di' du' \du dv r/i dz d z dz du ' dv (•/(!'

Supposons que l'on prenne pour u, v,w, les trois coordonnées polaires /■, 0, ^^, liées à x, y, z, par les formules

^' ::= rsin QcostJ^, r ^-^/'sinôsin-i, s^^rcosO,

on aura

dx dx clx

-^ z^sin Gcosi}/, ^- ^=rcos6cos^'>, -rr ^^ — /-sinOsin-i,

dr ^ do ^ d-h

-j- = sin 9sin li, -^ =-- rcos Osin-i/, -j-r = '"sinQ cos -V dr ' d9 ^ d-\>

dz dz . dz

-— ::^cos9, -7- = — rsniO, -r— n^O,

dr f/9 d\

formules qui donnent

A= /'-sin 0,

on aura donc pour l'expression du volume ç en coordonnées polaires

i; =///;■' sin 9 f//-</9J^,

et si r croît constamment entre les limites r» et ;■, fonctions données de et^{/, on pourra écrire

(i=^ Cl (/•; —rl)smBdBd-]>.

l84 NOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

Passons niainlenani aux aires des surfaces courbes; quand on emploie les coordonnées rectangulaires x et j>-, la détermination de ces aires dépend de l'intégrale double

Ç = // y/ 1 -T- /»' H- ^' dx dy,

, . . . , . . . . 1, dz dz ^. ,,

ou p et (/ désignent les dérivées partielles y- et -j- • bi i on

substitue les nouvelles variables u, v à :ret )■, on aura

r r ^ f dx dr dx dr\ I ; , ,

mais on a

dz dx dr dz dx , dy

du "du ' ^ du ' dv '^ dv ■' r/f d'où

/ dx dy dx dy\ fdz dy dz df\

' \ du di' dv du) \ du dv dv du j

( dx dy dx dy\ l dx dz dxdz\

^ \du dv dv du) \du dv dv duj^

et, en substituant ces valeurs de p cl q, il vient

r r j idxdy ITxdyV' l'dydz ^^V ^ fdzdx dzdxy . ,

j J V \dudv dvduj \dudv dvduj \dudv dvduj

Supposons qu'on prenne pour u et v les coordonnées po-

, , . , dx dx dy dy dz dz .

laires Q,-^; les dérivées -— , -77. -f-.-> -—, -7-^ -77 devront elre ' d9 d-h dQ d^l d& d-h

prises ici en considérant le rayon r comme fonction de 9 et -h ;

alors on aura

dx dr . , , r^ ,

-;— = -r- sin t^ cos -i — r cos 6 cos -^ , da d9

dy dr . ^ . , „ • , dz dr „ . ^

-7-=^- sinOsin-i-{- rcosôsin-i, -rr = -77 cos — rsinO, de d9 ' de de

dx dr . ^ , ■ r. ■ , -

-rr^^-TT sinQcosi — rsin 0sin-i, d-h d-h

dy dr . ^ . ^ . ^ , dz dr

-T7 — -TT sin 9 sin -b -f- /sin 9 cos -h, -j- ~ -7-7 cos , dii d-li ^ ' d-!j d-1)

ET LE CALCUL L\TÉGRAL. i85

d'où

dxdy' dx dy . ^ ( dr . ^ \

dBd-]> d^dQ \dQ )

dy dz dy dz . „ . / ^'''' . . . \ (^r ■ ,

-T- = — rsinôcosi}/ 1 — cosQ — rsinO +r 778111 ^,

de d-J^ d-!^d9 ^ \de J d-^

dz dx dz dx . „ . . / d'- ^ . \ dr ,

:7X:7T-7t:7^--= — ''sm9snUNy^cos9 — rsinQ -r — cos^;

do d]> d-^dQ' ' \de j d^

la somme des carrés des seconds membres de ces formules est égale à

•■'[ji)'^''"

on a donc

pour l'expression des aires courbes, en coordonnées polaires.

28. On peut arriver par des considérations très-simples aux formules que nous venons d'établir pour la détermination des volumes et aires courbes en coordonnées polaires. Remarquons d'abord que l'angle 9, formé par le rayon r et la direction de l'axe des z peut varier de o à tt; quant à l'angle ^ formé par la projection du rayon r, sur le plan xj; avec l'axe des x, il peut varier de o à 2r, en marchant de Ox vers 0/ ; enfin les équations

r = constante, 9 = constante, •]/ = constante,

représentent un système triple de surfaces orthogonales; les surfaces du premier système sont des sphères ayant pour centre l'origine des coordonnées; celles du deuxième système sont des cônes droits ayant pour axe l'axe des z ; enfin le troisième système se compose de plans passant par l'axe des z. Si l'on prend deux surfaces infiniment voisines dans chaque système, on déterminera un parallélipipède rectangle infiniment petit dont les dimensions seront respectivement dr, rdQ, rsin Od-^, son volume sera en conséquence ^^ <ine dr de d-^^ et l'on aura

Lacroix, Caîc. diff., II. l3

l86 NOTE Sin LE CALCUL DIFFERENTIEL

pour la délerminalioii des volumes en coordonnées polaires l'expression générale

ff r' sin (i(/r do (II,

comme nous l'avons trouvée plus haut.

Le parallélipipède dont nous avons parlé a deux de ses dimensions rdO et rsin d-l situées sur la sphère de rayon /•, l'élémenl superficiel de la sphère aura donc pour expression

d(^= r'sinG dQd-^,

Cl l'aire d'une portion quelconque de sphère se déterminera j)ar l'intégrale double

r'ffsmOdOd-'j.

29. Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver l'aire d'un triangle sphérique au moyen de la formule précédente. Soient A, B, C, les angles de ce triangle dont les sommets seront désignés par les mêmes lettres, je prendrai pour axe des z le rayon OA de la sphère (*), puis menant un grand cercle perpendiculaire à OA qui coupe en deux points I et J le grand cercle auquel appartient le côté BC, je prendrai le rayon 01 pour axe des r ; l'axe des x doit être perpendiculaire à OA et à 01, je choisirai la direction qui est telle, que la valeur i{> relative à C surpasse celle quiserapporteà C, en supposant que if'Croisse quand on marche de l'axe des x vers l'axe des r. Cela posé, considérons un point M se mouvant sur le côté BC de B vers C et menons l'arc de grand cercle AM qui, jirolongés'il le faut, coupera en N le grand cercle situé dans le plan xj\ Si l'on désigne par lî/j la valeur de ^ qui se rapporte au point B et que l'on prenne pour unité le rayon de la sphère, l'aire T du triangle sphérique sera donnée par la formule

/-• ,i„ -r- A /^ A M ^ ■ij -i- A

7= / ' d-l / smOdO= / ' (i — cosAM)(/0,

J6„ Jo Jl.

(" ) Le lecteur fera aiscmetit lui-nicme la figure.

OU, à cause de cos AM = sin MN,

\ (I^— sinMNf/-^=: A— / sinMN^/-^.

Mais le triangle sphérique rectangle MNI donne

. -,-. sinlcos^* -, • T • .

sinMiN=^ -. — =7—^^ cosM = sin Ism>^,

sin M

ol la dernière de ces formules donne par la différentiation

d-h = — .^'"^^ , cm, d'où sinMNfi4. = — t/M;

sin 1 cos "l

on aura donc

enfin, comme on a M = TT — B pour ^} = -% et M=C pour rL = -i/o -h A, on aura

ce qui est la formule connue.

30. Considérons enfin une surface courbe quelconque dont un point M ait pour coordomiées r, G, ^ et construisons la sphère de rayon rqui a pour centre l'origine des coordonnées. Le cône qui a pour sommet cette origine et pour base l'élément doi de la sphère, déterminera sur la surface courbe un élément c?S dont f/w sera la projection orthogonale sur la sphère /•; on aura donc

, f/w r-sinQdOd-li

COS£ COSï

e étant l'angle formé par le rayon r avec la normale de la surface.

Mais les côtés /y/ô et rsinOt/^{^ de l'élément da forment avec le rayon r un système d'axes rectangulaires auxquels on peut rapporter la surface que nous considérons. Pour le point M les trois coordonnées sont nulles ; en outre quand les deux premières coordonnées s'accroissent successivement de rdo et

l88 NOTE SUn LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

de rsinOdii, la troisième coordonnée prend les accroissements

dr j^ dr j, .. . , , ,

-7- ûfO, -yj d-li; en désignant par p ei q les rapports de ces derniers accroissements à ceux des coordonnées qui les produisent, on a

^ \ dr I dr

^ ~ r df)^ ^ /-sinô^!/*

Mais d'après les formules en coordonnées rectangulaires, relatives aux normales, l'angle t a pour cosinus

on a donc

rsinô

r' swY

et, par conséquent.

comme on l'a trouvé plus haut.

sin'O,

3t. Pour montrer un exemple de la réduction des intégrales multiples par le changement de variables, j'appliquerai les résultats obtenus précédemment à la recherche du volume et de la surface de l'ellipsoïde.

Si l'on fait usage des coordonnées rectangulaires, la surface de l'ellipsoïde a pour équation

et les formules propres à déterminer le volume V et la surface S sont

''^'■=''jj\/''-"i-'i'^''^^'

Dans l'expression de V, on peut effectuer immédialemeni l'intégralion par rapport à l'une quelconque des variables; l'intégrale double est alors réduite, et la seconde intégration peut s'effectuer sans difficulté. Il n'en est pas de même de l'intégrale double qui représente la valeur de S; l'intégration relative à ;r- ou à )' ne peut s'effectuer que par l'introduction des fonctions elliptiques. L'emploi des coordonnées polaires ne réussirait pas mieux, mais on peut effectuer la réduction demandée en prenant pour variables les deux angles 0, -^ liés aux coordonnées par les formules

^ = asinOcos^]^, r= ^sinôsini}^, z = ccosO,

en vertu desquelles J'équalion de l'ellipsoïde est vérifiée. Alors on a, par les formules générales du n"27,

\=.abci I sinOcos''OdQd-^,

S= / s/a^b'cos'B -r- 6■^sin=9(a'sin'J^^-62cos'^}^)sin9(/9f/^{',

les intégrations s'étendant de = o à Q = tt etdei{/ = oà i|/ = 277. Dans la première formule, l'intégration relative à

donne le résultat - abc j d-^, en sorte que l'on a

Yz=i ^abc.

Quant à la seconde intégrale double qui exprime la valeur de S, on peut la réduire en exécutant l'intégration relative à 9* mais cette intégration introduit des arcs de cercle et le résultat qu'on obtient par cette voie n'a pas la forme simple qu'on peut lui donner. C'est pourquoi nous ne pousserons pas plus loin ce calcul ; mais, à cause de l'intérêt que peut présenter celte question, nous indiquerons, pour évaluer l'aire de l'ellipsoïde, une autre méthode qui est d'ailleurs susceptible d'être appliquée à d'autres cas.

igo XOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL