Soil

l'équation de l'ellipsoïde et désignons par u le cosinus de l'angle que fait le plan langent au point [x, y; z), avec le plan a:}', on aura

fa) H > I — = o.

Si l'on considère u comme une constante, l'équation (2) représentera un cône du second degré, et les équations (1) et (2), prises simultanément, représenteront une courbe qui sera le lieu des points de l'ellipsoïde pour lesquels le plan tangent fait avec le pian xy un même angle ayant u pour cosinus. On aura la projection de cette courbe sur le plan des xy en éliminant z entre les équations (1) et (2); on trouve ainsi

équation d'une ellipse dont les demi-axes ont respectivement pour valeurs

sjâ} — [a? — C')ie \/b' - (6' — c'JJ?

et dont l'aire totale Esera, en conséquence,

7z a' b' ' i — if-]

v'[rt' — («' — c') u'] [b'—{b'—c') W]

Cela posé, soit r/E l'accroissement que prend E quand u augmente de du, la partie de l'ellipsoïde située d'un côté quelconque du plan xy et qui se projette sur l'espace annulaire dE

a évidemment pour valeur ^ — 5 etpouroblenirraire lotaleS de

r/E l'ellipsoïde, il suffit évidemment d'intégrer l'expression — ou

dE du , . . ,, • I I 1 1 1 '

-j- ■ — depuis II = I jusqu a «=:o, puis de doubler le resu.-

tat; on aura ainsi, en renversant les limites et en changeant le signe de l'intégrale,

II ne reste plus qu'à substituer dans cette formule la valeur de E tirée de l'équation (4) et l'on aura l'aire de l'ellipsoïde exprimée par une intégrale simple; mais il convient de transformer cette expression. A cet effet nous supposerons rt^ 6 > c, l'inégalité n'excluant pas l'égalité, et nous ferons, pour abréger,

d'où

y/rt' — c^ = a sin fx, c =^ b \Ji — /r'sin^,",

V. étant un angle compris entre o et -; enfin, nous prendrons pour variable, au lieu de u, l'angle (^ déterminé par l'équation

a . sin m

Sltïf = -: — ~i

sja' — c^ sin;/

et comme u varie entre les limites o et i, l'angle y variera de o à f*.

D'après cela, les équations (4) et (5) deviennent

■Ktth ( I — sin-a )

cos© v'i — /f^sin'''^

Jo ^h sin?

do.

^92 XOTE SUR LF CALCUL DIFFÉRENTIEL

Or on trouve au moyen de l'équation (6),

^-,/ E Ecosç, , . E , do

sin? siuç sui^o suiç, sin>v^i-A-^sin^9

— - ab i

^^'— ^'Vi— /''sin'o

d'ailleurs si l'on différentie l'expression cos?s/' - /'"sin>^

sin(j* on obtient

, cosyy/i — /,^sin^^ ^ ^ ^/ç

" :7; = — vi—/rsin' «.</»-}- ^ •

sin'çVi — Â-^sin'*' et si l'on tire de cette équation la valeur de

sin' o y/ 1 — /(^sin'o pour la substituer dans la formule précédente, il viendra, en ayant égard à la valeur de E,

2 \,la- — c- f/E I

a dm sino

— o^..2./ M-^"S? V'— /»'sinV-r rt=i^ — c= , ., . T

~ '^'^ ^^ iT;;:^ , , =^ '-^ ^ — \ sin=o-s nV

V«--c^L n/i— /.'sin^J

Intégrant ensuite cette équation entre les limites o = o et ? = /^, on aura