VV

(X («= — c^)/ v/i — /''sin-jf/o-!- c' / -, ^ — =: •

' L Jq ' ' , Jo V'— ^'sin'çj

ET LE CALCUL IXTEGRAL. If)3

En faisant, avec Legendre,

1 r:' do ]Jo VI — /''sin'cp

on retrouve la formule donnée par cet illustre géomètre, savoir :

(10) S=27re»-i- J^[(rt2 c-')E(pt,/r) + c^F([x,/r)]; V «2 — c^

les symboles F(^, k), E{p, />) désignent les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce ayant pt pour amplitude et /r pour module. Si l'on veut introduire, à l'exemple de Jacobi, comme fonction de deuxième espèce, l'intégrale

JC' sin>f/^ o

-.1 on remarquera que l'on a identiquement

o \l i — /("'sin'(î>

t/o ■ i/o v' — /r-sin'ii/ Jo \li—h'^sh\'

ce qui permet d'écrire la fornmle (8) comme il suit:

■ Ç^' d^ />' — c' Ç '- sin'<p ^y-1

Si l'on a c- = 6, l'ellipsoïde est de révolution autour du petit axe, on a /(= o et c. = arc cos-5 la formule précédente de-

vient

'1\ S = o 77 /)» -4- -> TT — firr ros -.

^Ja' — b' a

Si au contraire a^^b, l'ellipsoïde est de révolution autour

iq/j note sur le calcul différentiel

du grand axe, on a /r= i, et la formule (8) donne

f 1 3 ) S = 5 77 6- H — ; log , •

Il est facile de voir que les formules (12) et (i3) s'accordent à donner S = 4^^^ quand on fait « = 6 dans la première et c=ib dans la seconde.

33. La surface du cône oblique à base circulaire ou elliptique peut aussi s'exprimer par les fonctions elliptiques, mais les résultats sont beaucoup moins simples que ceux qui se rapportent à l'ellipsoïde. Afin de donner un exemple des transformations qu'il convient d'employer dans les questions de cette espèce, nous examinerons ici le cas le plus simple, celui du cône oblique à base circulaire.

Soient le centre de la base, S le sommet du cône, SP sa hauteur, SA et SA' les arêtes situées dans le plan SOP qui est un plan principal, M et M' deux points infiniment voisins sur la circonférence de la base. Désignons aussi par rie rayon de la base, par k la hauteur SP du cône, par f la distance OP projection de OS sur la base, et enfin par &i l'angle que fait le rayon OM avec OP, angle qui peut varier de o à xtt.

Si l'on abaisse SQ perpendiculaire sur la tangente à la base au point M, l'élément SMM'^ f/S de la surface du cône sera

r/S = - MW >'. SO,

l'arc MM' est égal à ;y/w, en outre le triangle rectangle SPQ

donne SQ=: \/sp'-h PÔ' ; SPestégalà /t, PQàifr— /cosm), et l'on aura en conséquence

S = - /• sjli'-^{r — /cosw)' f/w ;

par suite l'aire de la portion du cône comprise entre les arêtes qui répondent aux valeurs o et w de o), sera

= /" / s'h^-^[r — /'coswj*(/w.

ET LE CALCUL INTEGRAL. ip:)

Pour ramener celte expression à des transcendâmes plus simples, j'exécuterai une transformation ayant pour objet de faire disparaître sous le radical la première puissance du cosinus de l'angle variable. A cet effet, désignant par «p une nouvelle variable, et par ô une constante indéterminée, je poserai

cosO-hcosçp . sinôsinc

C0S6J = -— -1 sniw = —