I -h C0S9 COS(p I -+- C0S9 COS'f

<'es formules ne sont point contradictoires, puisqu'on en lire cos^o) -+- sin^w = i; on en déduit aussi sans difficulté

I ' „ I 7 s\n9(fo

tang- » = tang-5 lang-ç, «oj =

2 2 ' I -t- cosO COSo

et l'on voit que si w varie de o à 2r, o variera lui-même de o

Si l'on substitue dans la formule (i) les valeurs précédentes de cosw et de doi, et que l'on profite de l'indétermination de pour faire disparaître la première puissance de cos^p sous le radical, il viendra

S=i - /-sinô y'(/ = ^A^4-y'')(H-cos'ô) — 4';/'cos9

^^ f n/i — /,'sin^f , Jq (H-cos9coso)' '

en posant, pour abré§ier,

,j I __! (A'4-/-'— /')sin'9

~~ 2 2 ( /•' + h' -+-/' ) ( I -h cos'^ ) — 4 '/cos û

quant à l'angle 9, il est déterminé par l'équation

/rcos^9 — (/■=+/«' -f-/=)cosô+/r = o, d'où l'on tire

et

I — cos 9 ^/i--\- (/• — fy

l -+- cos 9 ~ y//,2^f,.^yj2*

Il est aisé de voirque les radicaux \/h^-\-{r — /') • el s,/ h- -y- ( r+fy représentent les valeurs des arêtes SA el SA' situées dans le plan principal ; si donc on désigne ces arêtes par a et a', on aura

cosO

^ -,-, C0S9 = — , \.diï\a-(i= \/ —.:

on peut exprimer h et/en fonction de ces mêmes génératrice? et du rayon r, il vient ainsi

(a + «)Vo (H-COSÔCOS'^)' ^'

et l'expression de /r' est

2 Zj. aa' 2 4 '^^■'

Si du sommet S du triangle SAA' on mène à la base AA' une oblique SA" = SA, il est clair que l'on aura A'A"=2/, et si l'on désigne par 2)1 l'angle en S dans le triangle SA' A", on aura

4/^ = «' -T- ='-'^ — 2 y.y.' cos 2 ). , et par conséquent

(i)) /r'=: cos2> =sn'i=>..

Pour ramener l'expression de S à la forme ordinaire des fonctions elliptiques, multiplions les deux fermes du coefficient ded'f par(i — cos 9 cos ^)% il viendra

o I / — 7 rH-2C0t-9 — coFOsm'oWi — /,'sm*o , ] ^ Jo (' -hcot^Osin=o)^ ^

If (6; ^

j — ;C0s9 f^s/i — /i= sin'o cosof/<p

I sin-GJo (i + cot-0 sin^ç)/

La seconde de ces intégrales peut s'exprimer par des arcs de

cercle; car si l'on pose

/T sin©

lang-i/= v7''+cot=0

V» — /(• sin^o d'où

sin-!sin (j) = • ■>

\//i-r-cot'ôCos -^

ET liE CALCUL INTEGRAL. 1 97

il vient

r^'v'i — /i^ sin^cp co.sçf/<jp__ sin S / i . \

X (I +cot'Gsin'<pr ~"^7T^i — /.^)siri^G V'^^^'"''"V'

Il faut remarquer que tangi{/ ne peut être infinie, en sorte que si l'on fait varier ip de o à 27r, ^ devra rester entre les limites

et H Ouand œ croît de o a -^ tÎ> croît de o jusqu'à la li-

mite -^ donnée par la formule lang|' = -'^ — ; - ^ quand o

croît de - a 3 -? 1!^ décroît de +^' jusqu'à — y ; enfin quand (p

croît de — à a^r, l'angle i]^ croît de — y jusqu'à zéro. 11 résulte

de là que noire intégrale s'annule pour çp=i27r, ce que l'on reconnaît d'ailleurs à priori.

La première intégrale de la formule (6) peut être simplifiée en lui appliquant le procédé de l'intégration par parties, mais on parvient plus vile au résultat en développant la différen-

.,,,,, . sincpcosoi/' — /i'sin-cp

lielle de 1 expression — lJ- —, î : on trouve

* 1 + col'9sin'<p '

col' 9 . cl

sin«p CCS y v/i — /r^sin'^

iH-2COl'0 — col'esin> , j — , — ,

= ; TT—-- ; V ' — " ' sin^j do

(i-r col^9sin^(}')' * ^ ^

I + coi'esin'y

sin'tp^cp

sin29(,|-col=9sin=»)v/i — /.^sin'tp ' y/i — /i-'sin->' d'où, en intégrant,

2 col' 9 — col^9 sin=(p) \/i — li^ sin^fd(f (iH- coi'9sin=Y)-

^ sincp coscp \/i — /(^sin'o

= cot=9 — ^ ^-^, — — i