col-ip sm'tp
''\l V, — /rsin'v"^sin'^/ (H-
VI — A-sin'v sin'9j (i-i-cot^9sin^()>) y/i— /•'sin'.p
Si l'on pose, comme précédemment,
et (|ue l'on fasse aussi, avec Legendre,
n{o, II, coVO]= l ■ • ^ =,
J^ ( I -f- col' û sin^ ? ) V I — /'' siu^9
l'expression précédente de S deviendra
— It^sm'f
j ^ I — - rrot'0smî)coso v^i — /c i 2 ^ L i-i-col=esm>
(7) I 4-E(?,/,)— F(?,/,) + ^^n(o, /,-,cot^e)J
1 ' /^ sine /'..'• ,\
\ 2 cos9 v^i — (i — /.^)sin'9 \ 2 y
la fonction n qui figure dans celte formule a été nommée par Legendre/b/^t'/Zo/i elliptique de troisième espèce.
Si l'on veut avoir l'aire totale S, du cône, il faut faire o> = 2:t, ce qui donne o=:2;t et -^=^0; il est évident en outre qu'il
suffira de remplacer o par - dans les fonctions E, F, n, pourvu
que l'on quadruple le résultat. Désignant alors par E, , F,, n,
les valeurs de E, F, n pour <» =^-5 on aura
(S) S-2/-v/^'[e.(/.) — F.(/0-^^n,(/„coi'ô)J,
formule dans laquelle figurent les trois fonctions elliptiques E,, F,, n,, et qui est plus compliquée que celle qui donne l'aire de l'ellipsoïde. On peut exprimer n, en fonction des transcendantes E etF; mais nous renverrons pour cet objet au Traité de Legendre sur les fonctions elliptiques. Dans le
cas du cône droit, on a a'z= a, /, = o, cos 9 = 0, 9 = -» et les fonctions E, , F, , n, se réduisent à -; la formule (8) donne le
ET LE CALCUL INTEGRAL. Igf)
résullat connu
Si :^ TT ICI.
Sur quelques intégrales définies.
34. Nous nous proposons ici d'ajouter quelques mois à ce que Lacroix a dit sur cet objet, en nous bornant à faire connaître quelques intégrales définies qui se rencontrent fréquemment dans les mathématiques.
Considérons les différentielles
e""^ cos bx dx, e~"^ sin bx dx ;
en les ajoutant après avoir multiplié la seconde par \[—~i, on obtient la différentielle
dont l'intégrale est
e-'"'-'''^~'^dx.
constante
a — b\j — I ou
~{a— b s/^ ) e- ^"-i"''-^^ ' a^-i-b' on aura donc
constante;
, , (a cos bx -\- b sm b x) e-"^
e-" cos bxdx=— j- 1- constante,
' .11 [a'&'xnbx — b cos bx) e~"''
e-" sm bxdx = ; j- '- h- constante.
Supposons que a soit positif, et prenons les intégrales entre les limites o et oo , on aura
/'* a C'-^' b (i) / e-"'' cos bx dx = -- — -r-? / e-""" sin bx dx ^^ .
Si l'on multiplie la première formule par db et qu'on l'intègre ensuite de /> = o à 6 = a, on aura, par la règle de l'intégration, sous le signe l
C^ sina^r , C''- i
I e--" dx = 1 —
Jo ^ Jo «'
500 XOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL
si l'on fait dans le second membre h zi^ a-j.' , dh^=nd-j!, il viendra
Jf '-^ . sin a.x , Ç â'j' ' €-"'■ dx =- I • ^ J» '-^''■'
Si mainlenanl on fait tendre a vers zéro, le second membre
r"^ dy.' -
tendra vers la limite / r? ou arctansfx ou -: on aura
donc
(2) - / dx — i.
Le premier membre de cette formule est une fonction essentiellement discontinue de a; il est égal à i si a est > o, mais il s'annule évidemment poun a = o, et change de signe quand a est négatif. Remplaçons a par a-{-b el par a — b, a et b étant positifs ei a^ b, on aura
sm ax cos bx -h cos ax S]n bx , ■ dx = 1,
smaxcosbx — cosa.rsin6.r ,
dx = 1 ;
ajoutant et retranchant, il vient
2 r^ s'm ax cosbx , 2 f*^ s'mbx cosax ,
d'où il suit que l'intégrale
'^ sin ax cosbx
est égale à i ou à zéro, suivant que a est "^b ou <^b; ]a même intégrale se réduit à - dans le cas de ^ = a, à cause de la formule (2). Cette propriété de l'intégrale que nous considérons a été utilisée d'une manière remarquable par Lejeune-Dirichlet pour la réduction des intégrales multiples.
3o. Pour montrer une application des formules (3), repre-
nons la deuxième des équations (i), mulliplions ses deux
, cos bclb . , . , .
membres par — - — et mlegrons ensuite de b = o a 6=03,
il viendra, en intervertissant l'ordre des intégrations,
r^ , p"^ s\nbsccosb r=^ cosbdb Jo " 1 b Jo "^^"^^'^
. ,,. , , r*sin6^cos6 „ , , , ,
mais 1 intégrale / -, db est égale a zéro si x est
<^ 1 , et égale a - si .r est > i ; on a donc
La différentielle e"ulx a pour intégrale indéfinie ~- ,
et le premier membre de la formule précédente se réduit en
conséquence a : on a donc
* (7 cos bc/b T.
ou, en mettant ax au lieu de b.
, , , f'^ cos ax dx
(4) / ■ „.. =rg
mais il faut bien remarquer que cette formule ne subsiste que pour les valeurs positives de a.
Sur l'intégration des différentielles contenant plusieurs variables.
36. Le procédé suivant, dû à Cauchy, est préférable à celui que Lacroix a fait connaître; il conduit d'ailleurs à une conséquence importante dont nous ferons usage plus loin.
Supposons qu'il s'agisse d'intégrer la différentielle
Vdx -+- Qdy,
