I-ACROix, Cale, diff., II. l

20 2 XOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL

OÙ P et Q désignent des fonctions données des variables indépendantes X, y. La question proposée n'est possible que si

1 on a -r- =-i— ; nous supposerons donc cette condition saay dx

tisfaite; on verra tout à l'heure qu'elle est suffisante. S'il existe une fonction u ayant pour différentielle ^dx -\- Qdy, cl que G soit une constante, la fonction « -h C aura aussi cette même différentielle, et en outre toute fonction ayant Pdx-+-Qdf pour différentielle sera nécessairement de la forme u h- C. On peut déterminer la constante C par la condition que l'intégrale H -h C s'annule quand on fait à la fois x = Xo, }' = y^', désignant donc par iit, ce que devient u dans cette liypotiièse, on aura V intégrale définie u — Mo.

Cela posé, soient

et cherchons à déterminer, s'il est possible, une fonction n ayant pour différentielle Vdx-hQdy ei s'annulant pour^=jCo, >• = jo. La fonction u, considérée comme fonction de la seule variable x, a pour différentielle (o{x, f)dx, et l'on a en consé» quence

u=j o{x,y)dx-^Y,

Y étant une fonction inconnue de y qui doit s'annuler pour y = y„. Si l'on différentie la formule précédente par rapport à j)--, et que l'on ait égard aux égalités

du do{x, y) d^\>{x, y)

dj^=^^^'^" —dj^ = —d^'

on trouvera

d-l{^^r) , . àY

•h {X, r) = / ■ ' ' (Ix ^

dr

ou, en effectuant l'intégration dans le second membre,

rî;(jr,j-) = -^(^,;') — •:(^„,j}4-— - ou —=-^(x,,r].

Cl > uy

înlégrant celle oernière équation de manière que Y s'annule pour j=r )•„, on a

et, par conséquent,

II— '?{^,r) dx-\- j -l [xo. y ]cly

La fonction u déterminée par cette équation satisfait aux conditions du problème et l'on voit que celui-ci est toujours pos-

sible SI 1 on a ^ . = ^V '•' ' .

dy dx