Dans la solution précédente, on a commencé l'intégration
par rapport à x, mais on aurait pu commencer par intégrer
relativement à j, et il est évident que l'on aurait obtenu par
cette voie
«= / •^[3c,y)dy+ \ <if[x, y,)dx.
Les deux valeurs de u que nous trouvons ainsi sont égales, car elles ont même différentielle et elles s'annulent l'une et l'autre quand on fait:r = Xo et y=zy\. On a donc identiquement
r*-c ^y pc ny
\ ç(x.r)f/^-h ^(''-<..^-]'//= / o{x,y,)dx'^ \ y[x,y)dy,
J^\ Jj, ^^, •^^c
et si l'on donne à :«; et j les valeurs déterminées, mais arbitraires X et Y, comprises comme x^ et y\ entre les limites en dehors desquelles 'j (a:, >■) Q\,-h[x,y) cessent d'être continues, on aura
•(I) r [o[x,Y)-o{x,y,)]dx= f [■l[\,y)—h{^o,y)\dy
cette formule très-générale a lieu pour deux fondions quelconques ^{x,y) et -^[x,)^) satisfaisant à la condition
dii^{x,y) 5^(-^j) dy dx
204 NOTE SUU LE CALCUL DIFFERENTIEL
38. La méthode précédente est applicable quel que soit le nombre des variables indépendantes. Considérons, par exemple, l'expression
ç( X, r, z)cIj: -i--li{ x,r, z)cIr-^^{ x, y, z )dz,
telle que l'on ait identiquement
do[x,r,z)__(hb{x,r,z) clo[x,r,z) __ dzn{x,y\z) d-^{x ,y%z) drs{x ,y%z] dr dx dz dx dz dy
cherchons à déterminer une fonction u ayant pour différentielle l'expression proposée et se réduisant à zéro quand on
fait X = Xa, J' = ,)'o) -2 -~ -^o.
Si l'on considère u comme fonction de ^ et j seulement, sa différentielle sera
o[x,y,z]dx -\--h{x,y, z)dy; on aura donc, par ce qui précède,
f<= / ^[x,y,z)dx-ir j ■\>{xo,y,z)dy+Z,
Z désignant une fonction de z seule qui se réduit à zéro pour z = z,. Si l'on différentie l'équation précédente par rapport à z et que l'on ail égard aux conditions écrites plus haut, on aura
r^ da(x, r, z) j , r^ du{x,,r, z) , dz
ou
Tô[x,y,z) = [x3{x,y,z)—z;{x„y,z)] + [u{xo,y,z]-zj{x„yo,z'j]-h-^^ d'où
Jrr n z
-7-= ci(^o,^"o,-s) et Z:^ / zi{Xi,y<i,z\dz\ dz Jz^
on a donc
' <f{x,y,z)dx -^ j •^{xo,y,z)dy-{- I Tn{xo,yo,z)dz,
et l'on aperçoit bien aisément quelle serait la formule propre
au cas de quatre ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes.
Sur les fonctions de variables imaginaires.
39. Soil une variable imaginaire z ^= x -»- j s/— i, ^ et r désignant des quantités réelles. Si l'on exécute sur la variable z et sur des constantes réelles ou imaginaires, quelques-unes des opérations de l'algèbre, savoir l'addition , la multiplication, la division, l'élévation à des puissances entières et l'extraction des racines d'indices entiers, on obtiendra une fonction algébrique F {z) de la variable z, réductible à la forme
? {^,x) + ^ — ' ^(-^j j)> où ^ et ^ désignent des fonctions réelles de x, r et de constantes réelles. Si parmi les opéralions algébriques qu'on a exécutées sur z, il n'y a point d'extractions de racines, la fonction F (s) est rationnelle et sa valeur est bien déterminée. Dans le cas contraire, l'expression de F (s) renferme des radicaux, elle est en conséquence susceptible de plusieurs valeurs, et il devient indispensable de définir avec précision la fonction que l'on veut représenter par le symbole F (s). Considi'Tons par exemple l'expression z""
dans laquelle m désigne une fraction commensurable -; cette
expression prendra, pour chaque valeur de z, q valeurs distinctes. Si l'on pose
z = jc -hjV — ' =P (cos w-f- v^ — I sin w),
le module p sera complètement déterminé, quand x et j seront donnés, et la même chose aura lieu à l'égard de w, si cet angle compris entre les limites — tt et -f- tt peut approcher autant que l'on voudra de la limite inférieure sans jamais l'atteindre. Cette restriction est nécessaire, car, en la négligeant, on aurait pour r = o les deux valeurs w = — tt et w = + 7t. Cela posé, toutes les diverses valeurs de l'expression z'" seront données par la formule
z'" = o"' [cosm(w-h2/< 7t) + y/ — I s\nin {'ji -+- 7. k Tz^
= p'" (cos m W-+- v'— I sin m w)(cos2/n/i 7r + \/ — i sin 2 mJnvjj
2o6 NOTE SIR LE CALCUL DIFFERENTIEL
en désignant par /< un entier qui peut recevoir les q valeurs o, I, 2,...(^—i). L'expression 2"" peut donc donner naissance à q fonctions distinctes qui ne diffèrent entre elles que par un facteur constant, et en posant
z"'=o"' (cosm w+ s/— I sinmc ),
on aura la plus simple des fonctions bien déterminées, susceptibles d'être représentées par le même symbole z'".
Nous ne pourrions ici, sans sortir des limites que comporte celte Note, entrer dans plus de détails au sujet de l'importante question que nous venons d'effleurer; on pourra consulter à cet égard les travaux de Cauchy sur celte matière, et un beau Mémoire de M. Puiseux inséré dans le tome XV du Journal ch^ 31. Liouville.
Après les fonctions algébriques viennent les fonctions transcendantes ; chacune decelies qu'on veutintroduire en analyse doit être définie avec précision. Considérons la série
C/u -!- rt, 2 -1- Cl; "■■ -r . . . + a„ z" -i- . . . , ordonnée par rapport aux puissances de 2 ; si l'on pose
z = p (cos o> -T- V — i sin oi ), a,, = «„ ( ces o,, 4- \ — i sin o„) ^ et que les deux séries
aoCOSÇo + =«1 p COS(w -i- ç>i)-T- «ï f' C0S(2&i -f- (f^) -^ • . ., sfo sin epo H- a, p sin ( w 4- ç, ) + a.2 f sin ( 2 03 + (p^) -i- . . .,
soient convergentes pour certaines valeurs de p et de w, la série en z sera convergente entre les mêmes limites et la somme F(2)vers laquelle elle converge pourra être considérée comme une fonction de 2; la fonction dont il s'agit est alors définie par la formule
c'est de cette manière que nous avons procédé plus haut pour définir les fonctions e% cos z, sin z.
Enfin, en exécutant les opérations de l'algèbre sur des fonctions déjà définies, on en obtiendra dp nouvelles; telles sontles
fondions lang; z, coiz, sec z,cosqcz, dont nous nous sommes occupé au n° 15.
Quant aux fonctions inverses log«, arc sin i;, ... , elles se trouvent exprimées par des symboles à valeurs multiples, et on doit leur appliquer la remarque que nous avons faite à l'occasion des fonctionsalgébriques non rationnelles. Par exemple, les diverses valeurs de log z sont données par la formule
log r = log p + ( M -1- 2 /,• r ) V^^,
OÙ l'on peut toujours supposer m compris entre — tt et -+- xr, et en posant
logr =: Iogp + w s/— I,
on aura la plus simple des fonctions bien déterminées susceptibles d'être représentées par la notation log z.
Les fonctions algébriques non rationnelles et les fonctions log z, arc sin z,. ,., appartiennent à la classe des fonctions implicites u déterminées par une équation telle que
dont le premier membre est une fonction bien déterminée des deux variables z et m et irréductible à la forme u — f{z),f{z) étant une fonction bien déterminée. Cette équation peut admettre, pour chaque valeur de z, un nombre fini ou infini de racines u, qui varient avec z; mais pour pouvoir considérer l'une de ces racines ii en particulier comme une fonction de z, il est nécessaire de la distinguer avec soin des autres racines dont quelques-unes peuvent devenir égales à celles que l'on veut étudier, pour certaines valeurs particulières de z.
iO. La définition de la continuité donnée au n° 1 est applicable aux fonctions d'une variable imaginaire. Ainsi :
Une fonction bien définie f[z) de la variable z = x-\~y^\J — i est dite continue pour les valeurs dez dont les parties réelles sont comprises entre x» et X, et les coefficients de y — i entre y„ et Y, lorsque, pour chacune de ces valeurs de z, le module
2o8 NOTE SUR LE CALCUL «IFFÉREXTIEL
OU la valeur numérique de la différence
Xf[z) = f{z-^i-)-f[z)
décroît indéfiniment en même temps que le module de ii. z c'est-à-dire devient infiniment petit avec A z.
On voit par celle définition que les fonctions entières sont continues pour toutes les valeurs de z; la fonction e* est également continue pour toutes les valeurs de z, car on a n° 15)
--^A r I \- \ (SZ \Z''
et il est évident que le facteur entre parenthèses devient infiniment petit avec Az ; la même chose a lieu à l'égard des fonctions cos z et sin 2, qui ne sont autre chose que des sommes d'exponentielles.
Les fonctions rationnelles non entières, et les fonctions tang z, cot Z, séc z, coséc z, ne deviennent discontinues qu'en passant par l'infini.
Mais il n'en est pas de même à l'égard des fonctions irrationnelles, et comme la continuité joue le rôle principal dans le développement des fonctions en séries, il est nécessaire de bien fixer les idées à cet égard en étudiant complètement un cas très-simple.
Ainsi que nous l'avons déjà dit, la variable
z=zx-{-fsj~i=--^ (cos w-f- V— ' sin w j peut prendre toutes les valeurs possibles en se bornant à donner à p les valeurs comprises entre o etoo , et à w les valeurs comprises entre — - et +7r. Diaprés cela, une fonction continue de z doit varier par degrés insensibles avec p et w, et en outre, si 6 désigne un angle réel infiniment petit, la différence des valeurs que prend la fonction pour
- =p[cos( — 77 -f-£j4- Y/^^sin(— TT-^-g)] et
Z = p[c0S(- — t)-T- \J— 1 Sinfrr — £)]
doit être infiniment petite, puisque la différence de ces valeurs
KT LE CALCUL INTEGRAL. 20g
de z, savoir 20 y/ — i sin z est elle-même infiniment petite; il est évident que réciproquement ces deux conditions assurent la continuité. On voit sans peine que la seconde condition peut être exprimée en disant que la fonction considérée prend des valeurs égales pour w=— retw = +7r.
Cela posé, considérons l'expression
où m désigne une fractic n commensurable dont le dénominateur est supérieur à i ; ^ i l'on fait
2 = p (cos w 4- v' — I sinw), \-\r z-z= r(cos-.î^ -i- v'— ' sin •}),
■^ étant assujetti, de môme que oj, à rester entre les limites — 71- et -i- TT sans jamais atteindre la limite inférieure, on aura
/• cos t{< = I 4- p cos 0), /' sin -h -^^ sin w, d'où
/ . I -<- cos M . . p sin t,.
r= V'i + apcos w -i-p% cos^!' ^=-- '■ » sm-^ ^= >
jqualions qui déterminent complètement le module r et l'argument r!>. D'après cela, les valeurs de l'expression (1 + 3)"" seront
/"■ (cos m-h -h y/ — I sinm-i) (cos 2 mhr. -(- \/ — i sin 2 w/i t),
h étant un entier. On peut prendre pour définir la fonction que nous voulons considérer, l'équation
{ I -}- ; )"■ — r'" (cos m -h -h y/ — i sin m -^ ),
et je dis que cette fonction sera continue tant que le module de z sera inférieur à i, tandis que si ce module prend des valeurs supérieures à 1, la fonction pourra devenir et deviendra effectivement discontinue.
En effet, les formules précédentes montrent que r, cosi}*, sin^!>, et par suite ^, varient par degrés insensibles si p et w varient elles-mêmes par degrés insensibles, etcela quelles que soient les valeurs que l'on attribue à p; mais si p est inférieur
2IO KOTE SUR LE CALCl'L DIFFERENTIEL
à I, on voit que cos-'j est toujours positif, d'où il suit que-^* reste compris entre — - et -i — ■> et comme on a sin "^ = o pour
w =dz7r, l'angle •} s'annule pour m=^ — tt et pour w = + 7:. On voit par là que la fonction (i -+-z )'" varie par degrés insensibles avec p et w; elle a d'ailleurs la même valeur, p restant le même, pour &) = — r et pour &j= -f-Tr, donc elle est fonction continue de z.
Supposons maintenant que z prenne des valeurs dont le module soit supérieur à i. Si l'on donne à w les valeurs — (tt — s) et +(7: — £),s étant un infiniment petit, puis que l'on fasse tendre e vers zéro, dans l'un et l'autre cas cos^]^ tendra vers la limite — i, et sin-i> vers la limite zéro; mais dans le premier cas sin-A atteint sa limite en passant par des valeurs négatives, tandis que dans le second cas le sinus est positif avant d'arriver à sa limite; il s'ensuit évidemment que l'on a -i^i: — ?: pour w = — 77 et ij/ = -r TT pour w=:-f-7r. Par conséquent la fonction ( 1 + 2 )"" prend pour w ^ — t: et pour r,>= -i-- deux valeurs dont la différence est 2 r"" sin nn: v' — i ; cette différence ne se réduit à zéro que si m est un nombre entier, donc dans tout autre cas la fonction est discontinue.
Les mêmes considérations font voir que la fonction log(i-i-z) reste fonction continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à i, mais qu'elle devient discontinue lorsque z prend des valeurs dont le module surpasse l'unité.
41. La définition des dérivées relative au cas d'une variable réelle est applicable si la variable devient imaginaire; on aura donc, par définition,
= lim
Az
f\ X -\-r\l— 1 -1-A^ + Ar\l — — ^/f-^ + .rv'— i)
Ajl: -\- Ay sj — I
lorsque Az = A^-i- AjV — i xenà vers zéro, ce qui exige que ù^x et Ay tendent simultanément vers zéro.
On dit qu'une variable est fonction de plusieurs autres, lorsqu'elle prend une valeur déterminée quand on attribue à celles-
ET f,F. CALCUL IXTÉGllAL. 211
ci des valeurs déterminées. Parlant de cette définition, Cauchy
a considéré toute fonction ^{x,y) des deux variables réelles
X et r comme une fonction de x -!- j y/— i ou de z. La déri-
, flcf{x,r)
vee -, — -^i savoir
az
j — iim ~ »
ClZ \ X -\- Aj-\/ 1
est alors généralement indéterminée et sa valeur dépend de la
cly A ) '
limite -r- vers laquelle converge le rapport -—- quand ^x et
ày tendent vers zéro. A ce point de vue, il y a lieu de distinguer les fonctions en deux classes, suivant qu'elles ont une dérivée unique ou une infinité de dérivées; nous nous bornons à indiquer cette conception, dont nous ne chercherons à tirer aucune conséquence.
Les règles de la différeniiation des fonctions algébriques n'ont à subir aucune modification, lorsque la variable devient imaginaire; il s'ensuit que ces fonctions ont des dérivées déterminées. La même chose a lieu à l'égard des fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires, car les règles relatives à ces fonctions reposent uniquement sur ce fait, que les
f-'' Y sin A
expressions — -. — > — -, — tendent vers l'unité quand h tend
vers zéro, et cela résulte immédiatement des définitions des fonctions e* et sinz pour une variable imaginaire z. On voit donc que toutes les fonctions composées avec les fonctions élémentaires de l'analyse auront une dérivée unique déterminée, et dans ce qui va suivre nous ne considérerons que de telles fonctions.
42. Soit f{z) une fonction de la variable z ^x-+-f\/ — i, continue entre certaines limites et ayant pour dérivée/' (2 ); f[z) peut être considérée comme une fonction de x et de j, et l'on aura
f//(-^ ,:., ^/'(--) ,:.. ^fi') ,:., ^- __^..-N^^^
, = lim • = lim ' ■■ lim — z= f (z) , ax AA- ^z àx '' cl.
df{z) .. Af{-) .. \f{z) AZ .,. riz
•' ' ' = hm -^^ — - := hm ' Jmi — = f'lz)
(/}• à}' A Z Ar dj-
d'ailleurs
dz dz I
donc on a
df{z) I dfiz)
ax dy
Si l'on remplacer: par x-^y \l — i dans/(s), et que l'on fasse
<f e\ -if désignant des fonctions réelles, l'équation précédente devient
do d-^\ ( d^ do I \
et elle se décompose en deux autres, savoir
do d'^ dii ^9
dx dj' dx df
qui indiquent que les expressions
<i^{x,y)df-^-h{x,y')dx et ''^[x,f)dx — -li{x,r)dy
sont des différentielles exactes. Mais si l'on fait la somme de ces expressions après avoir multiplié la première par y — ' > on trouve
[o{x,x) + /^ ^ ( -^,r)] {dx + df s/^) =/( z ) dz,
d'où il suit que f{z)dz est la différentielle exacte d'une fonction des deux variables^ etj; en d'autres termes, la différentielle/(2) f/s admet une intégrale lorsque z est imaginaire, comme lorsque z est réelle.
43. Supposons que la fonction f[z) reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module p est compris entre o et une limite R. Remplaçons z par o (cos w h- y' — i sin w) ou p e'-'"'-' dans l'expression /( 3 ) dz, on aura
f[z)dz =/(p e-^'^^ ) e"'"^^ do -\- y/^/(p e'^'^~) p e'^'^^d'o,
:=z ^ [p, bi'j d p -h ■!^ [p, m) d co.
Celle expression élanl une différentielle exacte, on aura par la formule (i)du n" 37
%.'o J — TT
mais comme la fonction fyz) est supposée continue pour loul module de z inférieur à R, on a <p (p, + tt) = ^(p, — t.) et le premier membre de la formule précédente se réduit à zéro. En outre, J/(o,w) est nul, puisque la fonction ^ contient p en facteur; on a donc simplement
/ ,;/(R,o>)£/.. = 0, ou / Re'-^'=^/(Re"'^)(/« = o,
OU encore
la va'eur de Z étant
et cette formule (i) suppose seulement, nous le répétons, que la fonction jf( z ) reste continue pour les valeurs de z dont le module est inférieur à R, la continuité élanl entendue comme nous l'avons expliqué plus haut.
Désignons maintenant par F (z) une fonction qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à R, et par x une constante réelle ou imaginaire dont le module soit lui-même compris entre o et R, la fonction
restera continue, comme F(z), pour toutes les valeurs de z
dont le module est inférieur à R; il ne saurait effectivement
se présenter de discontinuité qu'au moment où z atteint la va-
Y{x-\-h) Ff^)
leuror; la fonction/(z) prend alors la valeur lim -,
ou F'(;r), quantité qui est nécessairement finie, d'après notre hypothèse, comme on va le voir tout à l'heure. En appli-
^l4 NOTE SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL
quant la formule (i) à la fonction f{z) définie par l'équation (3), il vient
^4^[F(Z)-F(^)Jf/«=^-o, ou
Mais
on
d'où
-I / c doH / ,7
comme le module de x est inférieur à R, il est évident que iC dernier terme du second membre tend vers zéro, quand ^ augmente indéfiniment; en outre, le premier terme est égal à 2 7r et tous les suivants sont nuls; il résulte de là que le premier membre de l'équation ( 4 ) se réduit à 2 w F ( ^ ), el l'on a en conséquence
Pour établir cette formule, nous avons admis que F' (^) ne pouvait être infinie pour une valeur de x dont le module est inférieur à R; nous allons actuellement le démontrer. Supposons que V {x) puisse être infinie pour diverses valeurs de x dont les modules soient compris entre o et R et soit ae'-^^-' celle de ces valeurs qui a le plus grand module. La formule (6) subsistera sans difficulté pour les valeurs de x don les modules sont compris entre a et R, et en la différentiant, on aura encore
(7) F'(x)=jL£^-__L F(Z)rf..
Donnons à x dans celle formule l'argument a et faisons tendre
lo module de celle variable vers la limile a ; le second membre restera évidemment fini et tendra vers une limite déterminée; par conséquent, le premier membre, qui est toujours égal au second, tendra vers la même limite et ne pourra devenir infini, comme on l'a supposé.
Il résulte de là que la formule (6) exige seulement que le module de x soit inférieur au module II.
Forninle de Maclaurin.
hk. Cauchy a tiré de la formule (6) le beau théorème suivant: La fonction Y [x) sera dé^'eloppable en série convergente ordonnée siiii'cint les puissances ascendantes de x, si le module de la variable réelle ou imaginaire x conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction Y {x) cesse d'être continue.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de remplacer dans la
formule (6) du numéro précédent ^ par sa valeur tirée de
la formule ( 5 ), il vient alors
Y{x)=— FiZ)do^-hx — /
Le terme complémentaire tend vers zéro quand |x augmente indéfiniment, car ce terme est égal à
