TT I{/^ J Z — X
le facteur l^y tend vers zéro et l'intégrale que multiplie ce facteur conserve une valeur finie. On a donc
La formule (2) démontre le théorème énoncé, la formule ( i )
21 6 NOTK SUR Le tALCLL DIFFEREXTIEL
donne en outre l'expression du reste quand on s'arrête à un terme quelconque.
Cela posé, si l'on différenlie « fois l'équation (6) du numéro précédent par rapport à x, on obtient
'3)^^^^^^=F"(.r)=ri.2...n — / " " -A— F (Zj c/«; dx" ^ ' 2 7:J^ (Z — .r)"+' ^ '
en faisant ^ = odans cette formule, ainsi que dans la formule (6) du n''43, il vient
(4) I' o -- — I< Z r/w, ^—!- = — -—liUy
et, au moyen de ces équations, la formule (2) devient
ce qui n'est autre chose que la formule de Maclaurin.
Corollaire. La dérivée d'un ordre quelconque de la fonction F (x) est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, tant que cette fonction est elle-même développable de cette manière.
Effectivement, si l'on diffcrentie n fois par rapport à ^ la formule
on aura
formule dont le second membre est encore une série convergente et qui n'est au surplus que la formule du binôme pour le cas d'un exposant entier et négatif. Si l'on multiplie les
deux membres par - ' ■ tf w et qu on mtegre ensuite de
oi = — 77 à w = -1-77, on aura, par la formule ( 3],
OU, à cause des formules (4),
Remarque. Dans la dénionstralion de ce corollaire, nousavons fait usage du théorème suivant : Si Uo, m,, «2,..., sont des fonctions d'une variable réelle w et que pour les valeurs de w comprises entre «„ et w,, la série ^/„ -i- «, -i- u. -\- . ■ • converge
Je <^o f «■^
Uodoi-h j UidiôA-...
' H doi. Le cas où les termes
'"0 de la série sont imaginaires se ramène immédiatement au cas où ces termes sont réels; il suffit, en effet, de considérer à part les parties réelles et les parties imaginaires. Cela posé, soit R„ le reste de la série Uo-\- Ui-i-. .. dont tous les termes sont réels, on aura « = «„ -i-Mi-1--- ■ -f-'^n-i-i-Hnet
ud(ù= I «u (/o> -;-... -j- / u„^,doi-~ l l\„d(,i. Soit
R'„ la plus grande des valeurs absolues que prend R„ quand w
' ]{„ d(ji sera moindre '''0 que R'„ («.3. — w,), quantité qui s'annule pour« =-; donc
R„(/w tend vers zéro quand «augmente indéfiniment.
ko. Les fonciions(i +:;)'" et log (i -M;j définiescommenous l'avons fait plus haut, étant continues pour les valeurs de dont le module est inférieur à i, on aura pour ces valeurs
log(.+.-) = ^-^ + -...;
nous avons démontré précédemment cette dernière formule en faisant usage de considérations particulières à la fonction
Les fonctions e% cos z, sin z, restent continues pour toutes
Lacroix, Cale, diff., II. j/r
21 8 JVOTE SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL
les valeurs de z, donc elles sont toujours développables en séries convergentes ; mais il faut remarquer que ces développements en séries sont, pour nous, l'expression même de la définition des fonctions dont nous parlons ; il n'y a donc aucune conséquence à tirer relativement à celles-ci. Il y aurait lieu à un théorème concernant la fonction e-, par exemple, si l'on prenaitpour définition de e- l'équation
^î__^x+7v'^ . e^cosj + V — I e-'sin r-
Les fonctions ■> - col - ne cessent d'être continues
qu'en devenant infinies, la première pour des valeurs de z multiples de ii:\J — I, la seconde pour des valeurs de z multiples de 277; donc ces fonctions sont développables en séries convergentes pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z dont le module est inférieur à 271.
Les fonctions:;'^, log z,e^ sont discontinues pour une valeur nulle du module ; et elles ne sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières et ascendantes de 2, pour aucune valeur de cette variable.
Formule de Lagrange,
46. Soient a; une constante réelle donnée, t une variable réelle ou imaginaire, et considérons l'équation
dans laquelle z désigne une inconnue et/(s) une fonction continue de z indépendante de x et de t. Cette équation aura un nombre limité ou illimité de racines z suivant que la fonction f{z) sera algébrique ou transcendante; pour t--=o, l'une de ces racines se réduira à ^ et les autres deviendront infinies. Pour que l'équation (i)ait deux racines égales, il faut qu'elle soit vérifiée en même temps que sa dérivée prise par rapport à :;, savoir
(2) ^ = tf'{z),
et en éliminant f entre les équations (i) et (2), on aura
Les racines de celte équation (3 ) sont indépendantes de t ;
désignons-les par a.e^'V — ' , a-^e^'V -' ,. . . et portons-les successivement dans l'équation (2), on aura
formules qui font connaître les valeurs qu'il faut attribuera t, pour que deux des racines de l'équation (i) soient égales entre elles. Désignons par R le module de celle de ces valeurs qui a le plus petit module, il est évident que l'équation (i) n'aura point de racines égales tant que le module de la variable t restera inférieur à R, et par conséquent les racines de cette équation ne pourront vérifier l'équation (2).
Cela posé, je dis que si le module de t reste compris entre oel R, les racines de l'équation (i) varieront par degrés insensibles avec t. En effet, donnons à t une valeur ta dont le module soit plus grand que zéro et plus petit que R, et désignons
par Zo l'une des racines de l'équation (1), on aura /„ =.- -7^-7^
et si, en prenant pour az^ une quantité infiniment petite, on
détermine A ^0 par l'équation /„+ A /„ ^= -^^^ °- — ? il est
clair que l'équation (i) aura pour racine Zo-h^Zo lorsqu'on donnera à / la valeur ^0 -+- A /„. La différence de nos deux valeurs de t est
st — ^o+^^o — ^ Zo — ^ T — t[f{zo-^^z„)—fiZo)] ^^
"-f{z,-^AZ.) f{z.)~ f{Z.-^^Z.)
et comme la fonction /(z) est supposée continue, la formule de Maclaurin lui est applicable ; on a donc, en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre,
A/.= i^=^^£^^AZ„, d'où A,,==-Ç^]— -A^
910 NOTE SLR LE CALCUL DIFFERENTIEL
ledénominaleur i — tof'{Zo) ne pouvant être nul, on voit que si la valeur /.produit une racine Zo, la valeur to-{-^to produira une racine ^o + -^ -«, dont la différence à z^ deviendra infininfienl petite avec a/„.
Mais toutes les racines de l'équation (i) deviennent infinies pour / = o, à l'exception d'une seule qui se réduità x ; celle-ci peutctreconsidérée, d'après ce qui précède, commeune fonction continue de t pour toutes les valeurs de cette variable dont le module est inférieur à R, et, pour ces valeurs, elle est développable en série convergente, parla formule de Maclaurin.
47. Désignant donc par z la fonction qui vient d'être définie, on aura
t fdz\ r i(/-z\ r l'd^z
(dz\ . , , (f^
Zo, ( -7 ■ • • • exprimant les valeurs que prennent z , -j- > • •
pour /=o.Et, si F (2) désigne une fonction continue de z, indépendante de tel de x, on aura plus généralement
11 nous reste à calculer les coefficients de ce développement. Pour cela, considérons ici le paramètre x comme une variable. Si l'on différentie l'équation (i) d'abord par rapporta /, puis par rapport à x, il vient
(6) b-tf'{z-i\'^=f{z), [ — //'(.)]^ d'où Ton tire
^'^ dt J^~' dx
D'après cela, la différentielle totale dz de z, sera , dz , dz , dz j r-, xdz
et si l'on multiplie les deux membres par une fonction arbitraire cp {z) de z, il viendra
o {z)dz = 'f{z)^j^dx-+-f{z);{z)^-^dt;
le premier membre de cette équation étant une différentielle exacte, la même chose a lieu à l'égard du second membre, et l'on a, en conséquence,
dt dx
celte formule (8) nous montre que si l'on a à prendre la dérivée par rapport à / d'une expression de la forme tf [z) -j-->
il suffira de multiplier cette expression par/ (s) et de prendre la dérivée du produit par rapport à x. Différentions cette équation (8) n — 2 fois par rapport à t, on pourra dans le second membre intervertir l'ordre des différentiations relatives à / et x, et l'on aura
dt"-' dx df'-- '*
mais, danslesecondmembre, chaque différentiation relative à t peut être remplacée par une différentiation relativeà^, pourvu qu'on introduise d'abord un facteur /(:;) ; on aura donc
dt"-' dx"-' '
et si l'on fait
^iz)=fiz)¥'{z),
d'où, à cause de l'équation (7),
'^^■'^d^-^ '''^dt''--dr'
il viendra
/"- \{fz)"V'{z
n .dz
dx
dx"~
Faisons maintenant / = o, on aura, par l'équation (i),
Za=-X, F(Zo) = F(x),
puis, par les équations (6),
d'où
V/F(r; dt
dt
enfin l'équation (9) donne d" F {:
dv
d-'i/xyT jx) dx"-'
en sorte que la formule ( 5 ) devient
i .1. . . ji dx""'
c'est la formule connue sous le nom de formule de Lagrange. Si la fonction F (z) se réduit à z, on a
f d"-' ifx)"
