n dx

i8. Proposons-nous, par exemple, de trouver la fonction continue z, définie par l'équation

z = X -Y- tz'",

m étant un nombre entier positif. L'équation (3) se réduit

ici à

:; ,, , mx

z '— X -\ 5 d ou z = 1

l'équation (2) donne ensuite

(ni — i)"-'

et nous devons nous borner à donner à t des valeurs dont le module soit inférieur à la valeur numérique de

in"'x"'~' la valeur de z donnée par la formule (11) devient alors :

nm { fini — i ) . . . ( nm — ?i-\- 7.) 1 . 2 ... «

Le terme général de celte série a pour valeur

iim { nm — i ) . . . ( nm — /i + 2 )

et l'on en déduit

Un «-H-I {nm — «H- 2). . .( M/?« — a-\-m)

la limite de ce rapport pour ?i = co est égale à

-x"'-'t, ou a±-,

[ni — i )"'-' ' — R ■

et l'on reconnaît ainsi parles règles ordinaires de l'algèbre que notre série n'est convergente que pour les valeurs de t dont le module est inférieur à R.

49. J litre application de la formule de Lagrange. La formule de Lagrange est souvent utile pour le développement des fonctions explicites. Nous allons en donner un exemple. Suppo-

sons qu'on veuille développer la fonction , --—- suivant

les puissances croissantes de t.

En appliquant la formule de Lagrange à l'équation

(i) z=Z-+-tf[z),

oh z dési£;ne une fonclion des variables i, et t, cl/(^) une lonclion quelconque de z, il vient

^ ' ^ 1 .2. . .n dc"-'

et, en différeniiant par rapport à i;,

Maintenant soient

F'(z) = 2'" et f{z) = z — i,

l'équation (i) donnera

■C — t dz T

et, par suite, l'équation (2) devient

(i — /)"' + ' ^ \.i. . .n de,"

Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, linéaires par rapport à ces dérivées.

50. La méthode suivante, due à Ampère et légèrement modifiée par Cauchy, est préférable à celle dont Lacroix a fait usage.

Considérons d'abord le cas de deux variables indépendantes. Soient P, Qet V trois fonctions données des variables x, y, z; la dernière variable z étant considérée comme fonction des deux autres, posons

( 1 ) dz = pdx -+- qdy,

et considérons l'équation aux dérivées partielles

(2) Vp-\-Qq = \.

Si l'une des quantités P, Q se réduit à zéro, l'équation s'intègre à la manière des équations différentielles ordinaires et nous faisons abstraction de ce cas. Le problème qui consiste à trouver la fonclion inconnue z, susceptible de satisfaire à

ET LE CALCUL IXTÉGRaL. 2 25

l'équation (2), n'est pas déterminé; mais il le devient, si l'on exige que z soit assujettie en outre à se réduire à une fonction donnée /(r) de j-, lorsqu'on donne k'x la valeur particulière ^0- C'est ce que l'on reconnaît immédiatement quand on cherche à développer la fonction z en série ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de a: — ^0 au moyen de la formule de Taylor.

Ainsi nous nous proposons de trouver une fonction z=Y {x,y) des deux variables ^, j, qui satisfasse à l'équation (2) et qui soit telle que l'on ait en même temps

a; = Xo, z =j[y').

La méthode d'Ampère consiste dans un changement de variable ; introduisons une fonction actuellement indéterminée yo des deux variables x et j; on pourra considérer inversement j' comme fonction de ro et de x, et z deviendra ellemême fonction de x et dej'o; on aura dès lors par l'équation ( I )

dz dr dz dy^

dx ' ^ dx ' dyo df^"^

on tire de là les valeurs suivantes de p et de q,

__ dz y dnj dy W^ j i'

^ dx I dy \ dx ^ 1 dy \

dj-o ) \ dy, j

et en les substituant dans l'équation (2), il vient

dyo \ dx j ~^ dyo \ dx

Désignons par P', Q', V les valeurs que prennent P, Q, Y quand on y remplace z par sa valeur inconnue, mais bien déterminée en X elj; l'équation (3) deviendra

<4) l^l^'è-^O-Ko'-^'l

2 26 NOTE SUR LE CALCIX DIFFERENTIEL

ei il est clair (|ue les équations (3) et (4) floivent èire satisfaites par les mêmes valeurs de j, z fonctions de x et de jo; mais comme la fonction de x et j- que nous avons désignée par j*o est arbitraire et que réciproquement >■ est une fonction indéterminée de X et de fa, on peut assujettir y à satisfaire à l'équation

et en outre à se réduire pour x = Xo à une fonf^tion quelcon- (jue donnée de ro,à j^» par exemple. Cela posé, -j— n'étant pas nulle, l'équation (5) réduit l'équation (4) a

(6) p'lË v = o.

La fonction inconnue z = F(^, j) est donc telle, que j- et z considérées comme fonctions de x et de j» satisfont aux deux équations simultanées aux dérivées partielles

et se réduisent respectivement, pour ^=^o, à /o et/( jo) ou z». Mais les équations (7) ne renfermant point la variable indépendante >■», elles doivent être traitées comme des équations différentielles ordinaires ; ces équations sont toutes deux comprises dans la formule

,Q\ il^ ày dz

et pour résoudre le problème proposé, il suffira de les intégrer de manière que l'on ait simultanément :r = )'o, j' = ^ro, ^= ^o. Resolvant ensuite les intégrales par rapport à )o et z^, et portant les valeurs obtenues dans l'équation

(9) -^"o=/(ro),

on aura la solution demandée, qui renfermera une fonction arbilraire/(ji,j.

Supposons que l'on ait trouvé les intégrales générales des équations (8) avec deux constantes arbitraires a et §, et soient

ces intégrales résolues par rapport aux constantes. D'après ce qui vient d'être dit, il faudra résoudre les équations

/, ( Xo, Xo, ^o) = y-, fi ( Xt,, )\, j^o ) = S,

par rapport à n et z^ et substituer les valeurs trouvées dans l'équation (9); mais si l'on considère /(n) comme une fonction arbitraire, le résultat de la substitution sera simplement une relation arbitraire

entre a et 6. L'intégrale de la proposée pourra donc se mettre sous la forme

? [/- ( ^'yT^ - ), /^ (-^.r» 2 )] == O'

«p désignant une fonction arbitraire.

51. La même méthode s'applique sans difficulté au cas de trois ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes. Considérons, par exemple, le cas de trois variables indépendantes X, y, z ; la variable a étant fonction de x, y, z, posons

^,! ) du = pdx + qdy + rdz,

et soit l'équation proposée

{■?.) P/7^-Q(/ + Rrrr- V,

dans laquelle P, Q, R, V sont des fonctions données de x,y, z, u. Il s'agit de trouver une fonction u =¥ {x,y,z) dex, y, z .qui satisfasse généralement à l'équation ( 2) et qui pourx = Xo se réduise h. une fonction donnée/(r, 5) de jet de z\ énoncé en ces termes, le problème est complètement déterminé.

Introduisons deux fonctions indéterminées j-, et z^ de:c, r, -s; on pourra considérer jet z comme fonctions de x, y^, Zo; par

suite u deviendra fonction des mêmes variables, et l'on aura par l'équation (i),

du

dv dz = P^^d^-^'dx'

du dy.

dy dz ^ dyo d) u

du dz.

dy dz

dZo dZa

On tire de là les valeurs suivantes de p, q, r,

, du du du

Y Z dx dr dz

en posant, pour abréger,

^dy.dz " dyo dz.

dy dz dz, dy.

^- du dz

'~ dy, dz.

du dz dz, dy,'

„ du dy

du dy

dz, dy, dy, dz.

et si l'on porte ces valeurs de p, q, r dans l'équation {i), elle devient

Désignons par P', Q', R', \ ' ce que deviendraient P, Q, R, V si l'on remplaçait u par sa valeur inconnue V{x, y, z); faisons celte substitution dans (3), il viendra

et il est clair que les mêmes valeurs ée, y, z, u fonctions de X, y,, z, doivent satisfaire aux équations (3) et (4). Mais les fonctions de x,y, z que nous avons introduites et désignées

ET LE CALCl'L I.VTEI.IÎAL. 22^

par >o' -0 sont arbitraires, el, inversement, y et z sont des fonctions indéterminées de ^, jo. ^^', ces fonctions deviendront au contraire complètement déterminées si on les assujettit à satisfaire généralement aux équations

et à se réduire en outre, pour a:=:x^, à des fonctions arbitraires de j, et de i^o, à j\, el à z^ respectivement, par exem-

pie. Alors, comme les quantités y' y' ^"' expriment les valeurs de q et r, ne peuvent être généralement, infinies, les équations (5) réduisent l'équation (4) à

Il suit de là que la fonction inconnue n ~ Y{x, y\ z) est telle, que les valeurs de y% z, u, considérées comme fonctions des variables indépendantes x, Vo, Zo, satisfont généralement aux trois équations simultanées aux dérivées partielles

{r.) p'4^0 = o, p'Zi U^O, P'-^--V=:o,

dx dx dx

et se réduisent en outre, pour x -—. .r„, à >•», Zo , f{y'o, ^o) = n^ respectivement.

Les équations (7) ne renfermant point les variables indépendantes ju et:;o, elles doivent être traitées comme des équations différentielles ordinaires, el on peut les comprendre dans la seule formule

dx dy dz du

Pour avoir la solution du problème proposé, il suffira donc d'intégrer les équations (8) de manière que les variables X, y, z, u se réduisent simultanémenl à x,^, j\, z^, u^\ ré-

23') NOTE- SUU LE CALCUL DIFFKIÎEXTIÎX

solvant ensuite les intégrales obtenues par rapport a}\, So, ««, on portera les valeurs trouvées dans l'équation

Supposons que l'on ait trouvé les intégrales générales des équations (8) renfermant trois constantes arbitraires a, 6, 7, et soient

^ =/> (•^■» r. 2» «). s =f,[x, y, z. II), 7 =/3 (jc, ^-, z, u), les valeurs obtenues en résolvant ces intégrales par rapport à Ci, 8, 7, Pour avoir la solution de notre problème défini comme nous l'avons fait, il faudra tirer des équations

Ji (-^0 > Xo > -Zo ) w» ) ^= «, /.(•^o, Jo, ^0, W„) =S,

les valeurs de y„, z^ et m», pour les porter dons l'équation (9). Mais si l'on considère la fonction /de celte équation comme une fonction arbitraire, le résultat de l'élimination sera simplement une relation arbitraire

entre a, g, 7. Cette relation (10), où a, 6, 7 représentent les fondions/,,/,, /s, peut donc être regardée comme exprimant l'intégrale générale de l'équation (2).

Sur le passage des différences Jinies aux différentielles.