De même que

df[x) .. f{x^.h)—f{x) .. A/(r) ^ ,

^ , ' = hm ^^ r — ^^-^— ^ = hm —— ^ ( pour A = o ),

ax h . h ^^ '

de même on a aussi, quel que soit n,

— ^f-^^^^hm -, (pourA=:o),

dx" h" ^^ '

A"/(jr) exprimant la /i'*"'* différence de f[x).

La plupart des auteurs regardent ce fait comme évident ou n'en donnent que des démonstrations défectueuses; cette pro-

position résulte immédiatement du développement de la différence à"f{x) en série ordonnée par rapport aux puissances de h, développement que Lacroix établit au n" 391 ; mais l'auteur en fait usage au n° 389 pour démontrer la formule de ïaylor. Or, en suivant la marche tracée par Lacroix lui-même, on peut établir d'une manière élémentaire la proposition dont il s'agit, et sans supposer en aucune façon le théorème de Taylor. Il suffit en effet de remarquer que les expressions

I I cP\"f{x)

se réduisent, pour h z=o, à des quantités numériques indépendantes de la nature de la fonction /(x). Alors si l'on fait

f{x] = e^, d'où A/(.r) = e^{e'' — i),

et généralement

A"/(jr) = e'(e''— i)"=r e" (/<"-+•. . .),

on voit tout de suite que l'on aura, pour /i = o, A"/(.r)=.o, Z^ = o,...,

d/i"-' dh" ''

Si donc on cherche, par les règles ordinaires, la vraie valeur que prend le rapport

• , (pour h = o),

on trouvera que cette valeur esif"{x), et l'on a en conséquence

lim — -y^ =/« {x) ( pour // = o ).

Ainsi que nous l'avons dit plus haut, Lacroix démontre la formule de Taylor en partant du résultat qui précède; la marche qu'il suit est certainement la plus naturelle , mais sa démonstration manque absolument de rigueur. Aussi croyons-

232 XOTE SLR I-E CALCUL DIFFÉREXTIEL

nous l'aire une chose utile en présenianl ici la remarquable démonslralion publiée par M. Caqué dans le lome X du Journal de Liouville, et qui repose sur les mêmes principes.

Démonstration de la formule de Taylor, par M. J. Caqué.

53. Soit j'^/(^) une fonction donnée de x, et désignons par y\,y\', ... les valeurs qu'elle prend quand x augmente successivement de la constante ^x, en sorte que r*=/(-^ + /''^■^)- En représentant par A"ji la différence n''"'" dejji, on a, quels que soient n et k,

équation qui n'est, en effet, que la différence n''"" de l'équation évidente

yi. — ^)- -4- A }• -+- A V, 4- ... 4- Aj7-, .

Cette dernière, en remplaçant /r par m et posant niSx=z h, donne aussi

{0 /(-^ + //) =f{x) H- (Aj+ Aj, -f . . . H-- Aj-„,+ A^)„,,)-

Mais, si dans l'équation (A) on fait /^ = I, puis successivement /(•=: I, /(•= 2, . . . , Ii=/n — ï, on aura des valeurs de Aj-, , ly\, . . . , A )■„,,, qui, portées dans l'équation (i), nous donneront, réduction faite,

I + [(m - I ) y\r-h{ni — 2) A^,-, 4- ... -4- 2 A;}'„3 + Ay„,,] .

On pourrait reprendre de nouveau l'équation (A), y poser 71 = 2, puis successivement /i = i, /r = 2,..., /,= «/ — 2, et reporter dans l'équation (2) les valeurs de A->', , A-)j, . . . , A^)-„, ainsi obtenues; en réduisant, on aurait

f{x + h) =./(.r) 4- m Ar + -^—-—^ y y

' \'(ni — i)(ni — 2) (m — 2) (m — 3)

Et l'on pourrait continuer ce mode d'élimination qui conduirait finalement à la formule

in 1^ j-, s . m(m — i)

] mim — i)...{m — /i-f-i)

R„ remplaçant la quantité suivante, dans laquelle, en général, C;"~^ représente le nombre des combinaisons de m — g lettres nh n:

+ c;r''A''+'rm-«-. -+- c A"+' 7-,„„,.

Mais sansavoir même besoin de passer par l'équation (3), nous allons prouver directement que l'équation (4) a toujours lieu.

D'abord elle est vérifiée pour n = \, puisqu'elle coïncide alors avec l'équation (2). Pour démontrer généralement l'équation (4), il suffit donc de faire voir que, si elle est exacte pour une valeur de n, elle l'est encore pour la valeur suivante.

Dans l'équation (A), remplaçons n par «4-1, puis posons successivement /r = i , /r = 2 . . . . , k =^ m — n — i ; les divers résultats, multipliés par des facteurs convenables, forment le tableau suivant :

çr''^"+^r, = c"~' A"+'j- -+- c:;-'A"+^r + cr' a«+'j, ,

cr ' A''^' >„„. i^ cr' A"+' j -h cr' a"+=;-+ cr ' ^"^\r. + . . .