cr'A"+'j„„

Lackoix, Cale, dijf., II. 16

En faisant la somme des premiers membres, on reproduit la valeur de R„; on peut donc écrire que cette quantité est égale à la somme des seconds membres; celle-ci se présentera sous une forme plus simple en faisant usage de ce théorème d'algèbre :

« La somme des nombres des combinaisons n à n, de m — g, » m — g — I, . . . , «H- I, « lettres, est égale au nombre des » combinaisons n -^ i à « -i- 1 de m — g" + i lettres. »

Conséquemment on aura

m {mj-} )... {m — n-{-i){m — ?i)

en posant, pour abréger,

R. ■ r™— ' \n + 2 ,, i /-•"'-- A „-|.2 , , . n-f-l «--H-n "-* / ^^ V-'H-i-l '^ / IT^- • •

Or cette valeur de R„, piise dans l'équation (4), donne le même résultat que la substitution de n -hi an dans la même équation; donc l'équation (4) a lieu généralement.

5i. Si, dans l'équation (4), on remplace m par sa valeur tirée de m^x = h, on trouve aisément

h{/i — Ax). . .[h — {n — })Aûc] \"r

Le terme complémentaire R„ peut évidemment se mettre sous celte forme

Ax"+' cr — ^ + cr' - — - + . . -h c:; ^ '"-"-'

Ax"-^' àx"-^' àx"->-'

de sorte qu'en représentant par M la somme des termes entre parenthèses, divisée par la somme C;"~'-[-elc. de leurs coeffi-

cients, il vient

R„ = ^x"+' ( cr' + cr' -^ ...-+- c:: ) M ,

c'est-à-dire, en vertu d'un théorème déjà invoqué,

R„=:Ax"+'C+,M;

en mettant donc pour CT+i son expression connue, et remplaçant dans cette dernière m par — -, nous aurons enfin ^ ^ fi{h — A.r) ■ ■ .(h — ?i\x) j^j

. /l{/^—^.T)...[h—{n—l)^x] A" r /i{h—àx)...{k—iilx)

\ 1.2.... Il àx" 1.2. . .( /i+I j

Revenons sur l'expression de M, savoir,

Nous voyons que cette quantité est une moyenne entre les quotients

de manière qu'elle est toujours comprise entre le plus grand et le plus petit d'entre eux; il suffit donc, pour que M soit finie, que tous le soient, et alors la remarque que nous venons de faire fournit des limites simples de R„ ou du terme complémentaire de la formule (5).