Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que l'inté

■p dx conserve une valeur finie et déterminée; nous

allons nous occuper ici de celte intégrale.

Supposons, pour abréger, que l'on ait résolu l'équation (16) par rapport à z et que l'on en ail tiré la valeur z =^ï, M étant une fonction donnée de x, y, ^o» -^o» Les équations (16} et (17)

qui fournissent la solution cherchée de l'équation (i) seront plus simplement

^M dm

et les équations (18) qui donnent les valeurs de p el ûe q

seront

, , ^M dm

Pour reconstruire l'équation proposée (i), il faut éliminer j'o et ^0 entre les équations { 20) el ( 22 ) ; par conséquent la différentielle totale d¥ du premier membre de cette équation s'obtiendra en ajoutant les différentielles totales de M — z,

dM dM . , . ,., ^ ,.

—, p, —j- — q, respectivement multipliées par des lacteurs

y., Il, V susceptibles de faire disparaître les différentielles dfo et dza qui doivent ici être regardées comme indépendantes; on aura donc

\ dx ' dx^ dxdy) \ dy dx dy dy^ J

et les facteurs a, p., v devront vérifier les deux équations suivantes :

) dy. ^ dxdy\ ' dydy~^'

\ dZi> ' dxdza dydzo

De l'équation ( 23 ), on tire

et, à cause des équations ( 24),

dm d'M f/'M ^=M

■dqt

Z dx dy\ dy dzo dx dz» dy dy^

P~ dM (/^M (/M (/M dy\ dydzo dz^ dydy^

i48 NOTE SUR l'iXTÉGRATIOX DES ÉQUATIONS

Pour avoir l'iniégrale dont nous avons besoin, il faut remplacer dans celle expression r par sa valeur tirée de l'équalion (21), mullipHer ensuite \)ar dx, et intégrer entre les limites ^0 et -^ ; or on peut éviter l'élimination de / en procédant comme il suit. Si l'on ajoute au numérateur de l'expression

précédente de — p et que l'on en retranche ensuite la quantité

dM \

dn I d^M d^M

d M \ dx dz-o dy dzg

dzo

il vient

- dx :=

/dS\ d'M d\[ d'M \ <i»M /JM d'y\ rfM rf ' M \

\d)\drdz^ dz,^drttj,^/ dr dT„\d:„ dcUr^ dx„drdz„j '

dM /dM d--M d i\l d- M \ 17, [di, dj d:, ~ Ih^, dydjj

mais en différentiant, dans l'hypothèse où :r et j sont seules variables, l'équation (21) mise sous la forme

dM

dvo

\dzo

il vient

/ dM d'M ^I r/^M\ fd}[ d'M rTS^ ^M\ \dZo dxdy\ dy^dxdZoj ' \dyodydz^ dz„dydyj "^ *

ce qui réduit l'expression précédente de — p ^-^ à

,, du j, dm

Comme la fonction M doit se réduire à z„ pour x:z=Xo et j-=ro, il s'ensuit que, dans la même hypothèse, -j^ se réduit à l'unité. On aura donc, en intégrant l'équation précédente entre

les limites x^ et x.

I ^dx = log ■