L'analyse développée dans le § 1 se trouve en défaut
I j^àx cesse d'avoir une valeur finie et
déterminée. Ainsi que l'a remarqué M. Bertrand, cette circonstance se présente, non pas seulement dans quelques cas particuliers, mais dans le cas le plus général. Et en effet il suffit généralement d'attribuer une forme convenable à la fonction /(r) ou/(j„) ou 2» pour que l'intégrale dont il s'agit devienne infinie. Mais je dis que :
Si pour une forme particulière de la fonction /{y) l'inté-
grale j r; d^ cesse d'avoir une valeur finie et déterminée,
les formules que nous avons établies deviennent illusoires et sont impropres à fournir la solution du problème proposé. Celle-ci est donnée dans ce cas par l'intégrale complète de Lagrange qui accompagne l'intégrale générale.
On voit, en eflet, par l'équation (24), que si l'intégrale
I ^dx cesse d'avoir une valeur finie et déterminée pour
une certaine forme de la fonction /(j), la dérivée partielle
— j— devient nulle, infinie ou indéterminée après la subslitu-
dZa
tion de la valeur de r tirée de l'équation (21). Mais alors il est évident qu'on ne saurait tirer de celte équation (21) une valeur déterminée de j* se réduisant à jo pour x=iXa, puisque la double hypothèse ^ = x„, y = j\ doit réduire -r— à
"-'■'Il
l'unité. De ce qu'il est impossible de tirer de l'équation (21) une valeur déterminée de / se réduisant h j\ pour ^ = ^„, il faut conclure que l'hypothèse x^x^ fait disparaître r du premier membre de cette équation, et, parce que celle-ci est satisfaite quand on fait à la fois x = x^, r = j„, il est évident qu'elle est vérifiée identiquement, quel que soit j, quand
Lacroix, Cale dlff., II. 17
2 5o NOTE SUR l'iNTÉGHATION DES EQUATIONS
on y fail^ = ^». 11 résulte de là que j, disparaît de l'équation (20) quand on fait x^x^, car la dérivée du second membre par rapport à }"„ est identiquement nulle; cette équation donnera donc, dans cette hypothèse de ^ = ^o>
puisque nous savons qu'elle a lieu identiquement quand on fait j = /o> z=:z^, et que l'on a -2o=/(jo)- Concluons donc que dans le cas particulier dont nous nous occupons, la solution du problème proposé sera donnée, non plus par le système des équations (2o)et(2i), mais parla seule équation (20).
10. Nous éclaircirons ce qui précède par un exemple. Soit l'équation
Y = pz—pqy- aq:=^o, où a désigne une constante donnée. On a ici
X=o, Y=—pq, Z=p, V=z—qj=^, Q=-py^a=-^;
les équations simultanées à intégrer sont
— pdx qd}' dz dp dq
aq ~~~p^~ pqr~ /^ ~ o '
et on en tire sans difficulté
q=qo, — ,= -iH ' -= — H Gr — x^), -=" ?
/?' Pl (iqo P Po P Po î»
d'où, en remplaçant »» par sa valeur ~ — ,
Xoi^o ^nVo ) ^{^ -^0 )
\J{Zo — q,j\y-i-2.aq,{x — Xo)' z„{z„ — qoy\)-hciqo{x — Xo)
aqo
'7(^0— ^oJo)'-+- 2.aqo{x — Xo}
telles sont les valeurs de j, z, p, q en fonction de x, j\y -^e » (h' On a ensuite
Z p' aq.
1^ Ciq {Z, ^«Jo)'+2«îo(-^ — -^o)
et
JC' Z
' Tj- (/.r devient infinie si l'on a
clz„ 2u
z, — q,j; = o ou ;7-=-5 dans ce cas, la valeur de Za est
^0 = aj'o, d'où ^0 = a,
a désignant une constante arbitraire.
Mais, si l'on suppose à 2» celte valeur, nos formules deviennent illusoires, car elles donnent pour y et pour z les valeurs
qui sont indépendantes de j\.
Eliminons q^ entre les deux équations qui donnent les valeurs de j' et de z. On tire de ces équations
sj[ Zo — qo Vo y -h laqoix — Xo)
z — qoX = \/{ Zo — q^Xo )' + 2 aq„{ x — x^ ] ; et par la multiplication,
z'—zl = ql ixo—rlh
au moyen de quoi la deuxième équation, élevée au carré, se réduit à
qo{r' — rl) = ixz —roZo)-{-a{x — Xo).
L'élimination de q^ entre ces deux dernières équations se
25 2 NOTE SUR l'iXTÉGRATION DES ÉQUATIOXS
fait immédiatement; on trouve
ir'—rl )(-'--')- [(^'-s — n zo)-ha{x — xoyy = o,
DU
y' , aa'^x — ar„) a* {x — x^y
c'est l'équation que nous avons désignée en général par V = o; on en tire
formule dont le second membre est la quantité désignée par M. On vérifie aisément que l'équation
dM ^M
dy\ ^ dzi,
donne la valeur de j obtenue précédemment, et en sub-
, , ■ • ' d^\ siituant celte valeur dans la dérivée —, — on trouve
d^\ -Zq — Ço T'o
^-^» \l{ Zo + qo}'o y -^ ■2.aq,{x — x^y
ce qui s'accorde avec les résultats généraux déduits de notre théorie.
Si l'on pose z, = ajo dans notre équation z = M, elle devient
cette valeur de z satisfait à l'équation proposée en regardant a et Vo comme des constantes arbitraires; d'ailleurs elle se réduit à
pour X z= Xa\ donc elle donne bien la solution du problèu.e proposé, dans le cas où l'on suppose la fonction f[j) égale
