III

M. La méthode de Cauchy s'étend au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes; nous allons développer

AUX DER1AT:ES partielles du premier ordre. 23 :^

le cas où ce nombre est égal à 3, on verra sans peine que nos raisonnements ont une généralité absolue.

Soit donc

l'équation proposée, dans laquelle u est une fonction inconnue des trois variables indépendantes x, j, z et oii p, q, r

. , . , , , . , . .. du du du

désignent les dérivées partielles -r- -, -j-i -j;'

11 s'agit de trouver une fonction u qui satisfasse généralement à l'équation ( i ) et qui, pour x = ^o, se réduise à une fonction donnée/(j-, :;) des deux variables j- et z. Ainsi l'on aura en même temps

x = x,, u=f{y,z), q = - j// ^ r= '' jj '^ -

Nous introduirons ici deux fonctions actuellement indéterminées lo, Za des variables x, y, z, en sorte qu'on pourra considérer inversement j et z comme fonctions de^, ro> -^o; et alors u, p, q, r seront aussi des fonctions de x, jo, z^. Donc, à cause de

on aura

Différentions les équations (2) et (3) par rapporta x et retranchons respectivement les équations résultantes de celles qu'on obtient en différentiant l'équation (2) par rapport à jo et par rapport à 2o, on aura

IK\ ^/^ /^^ ^(r dq dy\ I dr dz dr dz dj-o \dx d)\ dyodxj \dx dy\ dy\dx

,^ dp fdq dy dq dy\ i dr dz dr dz\

dz^ \dx dza dzodxj \dx dzo dz^dxj

du:

= pdx -h qdy 4- rdzy

dy dz

du dfo'

Jr dz ~ ^ dy, ^ dy,'

dzo '

__ dy dz ~ ^ dza ' dza

254 NOTE SUR l'intégration DES EQUATIONS

Désignons maintenant par

d¥=\dx-^~Y df -^Zdz-hV du -{-Vdp^Q dq -{- R</r

la différentielle totale du premier membre de l'équation (i); on aura, en différentiant cette équation (>) par rapport à j» et par rapport h z^,

I \ ^T <'r r, dz ^, du ^ dp ^ dq dr dfo dfo dyo dy\ dy\ dy\

iQ\ \T ^h' n, dz ^^ du „ dp „ dq .. dr

clz^ dzt> dzo dza dZo dz^

et si l'on porte dans ces équations (7) et (8) les valeurs de du du dp dp . , . , , , ^ ^

dxo' dio' ^0' dz, ^'^^^^ équations (3), (4), (5), (6), il

viendra

Or, comme les fonctions de^, jo, ^o qui expriment lesvaleurs dej et de 2 sont entièrement indéterminées, nous pouvons les assujettir à satisfaire aux deux équations

et à se réduire en outre pour ^ = ^0 à des fonctions quelconques données de jo et de Zo, Nous choisirons, pour ces fonctions données, les quantités jo, ^0 elles-mêmes, en sorte que l'on aura en même temps

x=Xo, 7 = 7-0, z^Zo, n=Uo, p=:po, q = qo, r=ro, en posant

^ /■/,. .^ , àf{ro, z,) __ df{n, z,)

et e« désignant par /», une quantité déterminée par l'équation

F(:ro, j„, z„ u„ p„ q„ i\)=o.

Les équations (i i) et (12) réduisent les équations (9) et (10) à

[ \ ^ dx] az„ \ axj clZa

On ne saurait avoir

, , , dy dz dy~ dz

dfo dza dz^ dfo

oar autrement il existerait une relation entre x, j, z. On a, en ■ effet,

, dz , dz , dz ,

dz =--j- dx -h -7— f/jo -h -r- «2„ ; aor dy'a dZo

p si l'on retranche ces équations l'une de l'autre, après les avoir

F dz dy

multipliées respectivement par -j^ et -f- -> il viendra, a cause

de(i4),

dz j dy , ( (fy f^' (f" (^T \ 1

dza "^ dzo '^ \ dx dzo dx dz^ j '

équation qui suppose une relation entre :r,j, z, car les dérivées

dz dr ^ ,, - .

—r— et -— ne peuvent être nulles en même temps.

dZo dZa

D'après cela les équations ( 1 3 ) donneront (.5) Y+U7+P^=o,,

(16) Z + Ur+P^ = o;

en sorte que le problème proposé est ramené à trouver six fonctions J-, z, it, p, q, r des variables^, jo, Zo, qui satisfassent

dTo

dy dz ^ dy-o dfo

dZo

dr dz ^ dz, dz,

256 NOTE sun l'intégration des équations

aux huit équations f i), (2), (3), (4), (i i), (12), (i5), (i^) et qui se réduisent simultanément à j», z„ u„ p„ q„ r,, pour

12. Mais les équations (1), (2), (ï i), (i.?.), (i5), (16) suffisent pour la complète détermination des inconnues j, z, u, p, q, r; il faut donc que les équations (3) et (4) soient satisfaites «l'elles-mêmes, et c'est ce qu'on peut établir aisément en répétant le raisonnement dont nous avons déjà fait usage au § I. Supposons donc qu'on ait tiré des équations ( i ), { 2 ), (11), (12), (i5), (16) des valeurs de y, z, u, p, q, r fonctions de x, y\, z,, et se réduisant respectivement à jo, z,, u^, p„, q„ r, pour.rr=Xo. Désignons par I et J les différences entre les deux membres des équations (3) et (4 ), on aura

, . du dr (lo

('7) Tz:r = ^7777 + '--7:7+1.

Si l'on différentie ces équations par rapport à ^ et qu'on en retranche ensuite respectivement les équations qu'on obtient en différenliant les équations (2) par rapport a y^ et par rapport à Zo, on aura, au lieu des équations (5) et (G),

•, dp ( dq dy dq dy\ ^ /dr dz dr dz\ dl " dj\ \dx dy\ dj'o dx ) "*" \dx dy\ dy\ dx) dx^

dp / dq dy dq dy\ f dr dz dr dz\ dJ

dz, \dx dz, dz, dx j \dx dz, dz, dxj dx

Sil'onporte ensuitedansleséquations(7)et(H)lesvaleursde -t— »

dyr,

du dp dp . , , , . , > , o / V / V -1 — 5 "/ ' 77^ tirées des équations (17), (loj, (19), (20), on

aura deux équations qui ne différeront des équations ( 9 ) et ( i o) respectivement qu'en ce que leurs premiers membres contiendront les nouveaux termes P -7- H-UI et P -7 hUJ. El

, dx dx

i comme tous les autres termes des équations que nous considérons disparaissent en vertu des équations (i i), (12), (i5),(i6), on

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES D»J PRE3IIEU ORDRE. 25-r

aura simplenieni

P -7- + UI = o,

ctx

p^ + UJ = o,

d'où l'on lire

I — lo e ° , J = Jd e ^^ ^

en désignant pari» et J„ les valeurs de 1 et de J pour x = x^. On reconnaît immédiatement que I„ et J» sont nuls et l'on a par conséquent

' -p dx conserve une valeur finie et

déterminée.

13. D'après ce qui précède, il nous suffit de considérer les six équations (i), (2), (n), (12), (i5), (16). On peut même remplacer l'équation (i) par sa différentielle relative à x^ savoir :

dx dx dx dx dx dx

qui, en remplaçant -i--^ Q, R, Y, Z, par leurs valeurs tirées des équations (2), (ii), (12), (i5), (16), devient

Le problème est donc ramené à trouver au moyen de six des sept équalions{i), (2), (r i), (12), (i5), (16), (21) des valeurs de y, z, U, p, q, r se réduisant respectivement à j,. ^o, iio,po, ^0. '« pour X = x^.

Les équations (2), (11), (12), (i5), (iG), (21) sont en réalité aux dérivées partielles, mais comme elles ne renferment point les variables jo, z,,, on doit les traiter comme des équations

2dS note sur l'intégration des équations

différentielles ordinaires. Ces équations sont comprises dans la formule unique

dx d y âz du — dp — dq — dr

et l'une d'elles peut être remplacée par l'équation (i).

Si le premier membre de l'équation proposée est linéaire par rapport aux dérivées p, q, r, les quantités P, Q, R sont indépendantes de ces dérivées, et l'on a F = P/n-Q^-f-R/— V, V étant comme P, Q, R fonction de x, j, z, u. Dans ce cas les trois premières des équations contenues dans la formule (i4), savoir

dx dy dz du

permettent, sans le secours des autres, de déterminer y, z, u en fonction de x, Vo et z^. On est ainsi ramené pour le cas des équations linéaires à la règle connue [voir Note I).

14. Supposons que de six des sept équations comprises dans les formules (i) et (22) on ait tiré des valeurs de 7, z, u, p, q, r se réduisant respectivement à j», 2», iio, p», Ço, r»,

pourjr:=^f,; soient

/ X=f> i^,r<» -^0, Mo, qo, n), z =f2{x,Xo,Zo,Uo,qo,ro), , „ , , « —/s {^,r'>^ ^0^ '^0' I0, r,),

p =/i {^>Xo' ^0, Uo, qo, r,), q —.fi,{x,fo, 2o, lia, q», Tu), /' ^Jc ( ^> Toi -^0, liât Çoj foj}

ces valeurs; nous supposons quepoait été remplacé dans ces expressions par la valeur tirée del'équation F (:co,jo,2o,/?o,^«,'-u)=o. Les trois premières équations du système (23) donneront la so lution du problème proposé, si l'on y remplace it„ qo, n par

f(y^~^)/lÙIîilA, iBZlilA; maisl'éliminalionderu etdes, ■' '-^ ' djo dz,

entre ces trois équations ne sera possible en général que si

l'on attribue à la fonction /une forme déterminée.

Si l'équation proposée (1) n'est pas linéaire par rapport aux

dérivées p, q, r, les valeurs précédentes de y, z, h ne peuvent être toutes les trois indépendantes de (jo et de ro; car si cela avait lieu, on pourrait tirer des trois premières équations (23) des valeurs de ro, *o, ''o de la forme

yo=9{x, f, z, u), Zo = ■^{x,x, Z, II), m=^-cj{x,r, z,ii),

et l'intégrale cherchée de l'équation fi) serait

forme qui ne peut convenir qu'à l'intégrale d'une équation linéaire. Nous ferons en conséquence abstraction de ce cas.

15. Au moyen des formules (23), les équations (3) et (4) deviennent

\dy, duj' d,i,clj,dr,djj ■^'\dj,'^duJ'''^dq,dj,'^dr„d^J

■ '^^'^Wo'^dI^J''^d^,d7,'^dF,^J'

CIL ^ 'IL , ^ ^3 ^iv, , ^^o\ . fif^ df^ df\dju df,dj^\

\ dz, "^ dr, »'*" dq, dz, "^ dr, dz, ) --^^ V'/'o du, '■"-+- J,/„ dz, "^ dr, dz, ]

"^ ° Wso du„ " dq^dz„ dr^dzj'

ces équations doivent être identiques ; par suite les termes qui

contiennent les dérivées -y- , -^ = -^ , - j- doivent se dé-

ajo azo «jo «2o

truire mutuellement; on a donc

dr, + ^» du, -J' Ujo '^ '^^ lu, ) -^J' \iy.

du.

j dço ■'' dq, -^'dq,^

\ dr, "'' di\ -^^ dro

Les deux dernières équations de ce système montrent que si les expressions de deux des variables j, z, u sont indépendantes de (/„ ou de ro, la troisième expression est elle-même indépendante de g» ou de r,. Plus généralement, on déduit des

26o NOTE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS

deux dernières équations (24)

dqo dr„ dt\ dq^ "^^xdqodr^ dr^dq

dqo dro dr^ dqo '^'^xdqodr^ drodqoj

d'où il suit que si l'un des délerminanls

df. df.

df, df.

^m ^if^

^If^ df,

^fi'Mi^

df, df.

dqo dro

dro dqo '

dqo dro

dro dqo '

dqo dro

dro dqo

est nul, les deux autres sont nécessairement nuls.

16. Nous supposerons d'abord que ces déterminants ne sont pas nuls; dans ce cas deux quelconques des trois premières équations (23) peuvent être résolues par rapport à qo et r,. Faisant donc l'élimination de qo et de r, entre ces trois équations, on aura une équation résultante que je représenterai par

(25) \{x,r, z,u, Vo, Zo, Uo)='o ou V= G.

Prenons la différentielle totale de cette équation (sS) et remplaçons dans cette différentielle dito par q^djo -f- r^dz^, du par pdx -h qdr-+- rdz,

il viendra

t (d\' d\\^ fd\ dV\ , /dV d\'\

\[-d^-^f'd;^)'''-^[ip-^'^in:)'''^[di-^-du)

- ]ds

J /dV d\\ /d\ dV\

mais les deux premières équations (3) donnent

. df, , ^ (dt\ df, df^dq, dj^dr„\ ^ [df^ df, dr,dq„ df,d,„\,

dx \dro du/ dq^dXo dr„dyj \dz^ du^ dq„dz„ dr^dzj

df /df, df df,d,i, df,dr,\, [df. df df^dq, df,d,„\,

dx \djr^ du„' dq^dy^ dr^dyj \dz^ du„ dq^dz^ dr„dZo/

portant ces valeurs de dy et dz dans l'équation (26) et égalant ensuite à zéro les coefficients des différentielles restantes

ilx, dy\, dz^, il viendra

/ fd\ dv\ fd\ d\\dr /d\ d\\df,

(d\ d\\ /dX d\'\[df^ df\ dr^dq„ df,drA

(^7^ \ -^\-d.-^'-^.)\w^-ru:'-^'^.w;^-dfjy.

/d\ d\\/df^ df^ df^dq„ df^drA

[dr'^'^lû^) \d7,'^t7/''^tf,dr,^di^,d^J

/d\ ^\{df., dj^ df^dqj, d/^dr^\

'\dz'^'"dil)\7T,'^d^J'''^d^,dz,'^dr,dzJ-''

Ces équations (27) doivent être identiques en vertu des équations (23), et comme celles-ci ne renferment pas les déri-

vees -~- 1 -52-=.-—°, -— , lî faut que les termes multiplies dfo dz^ d}„ dz,

par ces dérivées dans les deux dernières équations ( 27 ) se détruisent mutuellement, ce qui exige que l'on ait

/dY ^JX\Éfl^{^H r—]i^=o

% \dx ^ du ) dq^ ' \ dz du ) dq,

/dv ^\ if , l^IX .^IX\'È-o

\ dy ^ du j dro \ dz du ) di\ ~

, , , . df, df, df, df, et, comme, par hypothèse, le déterminant --y- -j^ j-^ -j—

n'est pas nul, on aura nécessairement

dY dY dY dY

et les équations (27 ) donneront ensuite

dY dY dY dY dY dY

dx ^ du dvo ^ du, dz, du.

Les équations (25), (28), (29) déterminent les valeurs de y, z, u, p, q, r, et en conséquence elles peuvent suppléer les équations ( 23 ). En particulier si l'on remplace «<« par/(;-o, z,), l'intégrale demandée de l'équation (i)sera le résultat de l'éli-

26a NOTE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS

minalion de }\ et de Zo entre les trois équations

f dy\ /d\\ , ,, . , en désignant ici par ( —j-z et ( —. — | les dérivées partielles

de V prises par rapport à jo et z», après la substitution de fiXo, Zo) à Uo.