On voit que la seule équation

satisfait à l'équation proposée (i), si l'on y regarde j'o, Zo, ii, comme des constantes arbitraires. En effet, dans la solution générale que nous venons de développer, on reconstruit l'équation proposée en éliminant j'o, -Zo et Uo entre l'équation (aS), les équations ( 28 ) et la première équation ( 29 ). Or, si, au lieu de considérer j'o) -^o» "o comme des variables assujetties à satisfaire aux deux dernières équations (29), on traite ces quantités comme des constantes, il est clair que les valeurs de p, q, r tirées de l'équation (25) seront données par les mêmes équations qui continueront avec l'équation (25) à reproduire l'équaiion ( 1 ). Cette équation (25 ), qui renferme trois constantes arbitraires, est l'intégrale complète associée à l'intégrale générale qui est représentée par les équations ( 3o ).

On voit aussi que l'équation proposée (1) est satisfaite i" par l'équation qui résulte de l'élimination de j» entre les deux seules équations

si l'on y regarde Zo comme une constante arbitraire; 2" par l'équation qui résulte de l'élimination de Zo entre

si l'on regarde ;^'o comme une constante arbitraire. Car, pour le calcul des dérivées p, q, r, l'hypothèse de Za ou de /o con -

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. aG^i

stanle équivaut évidemment à l'iiypothèse de ( -r— j=o ou

de ( -r-^ I = o. Cliacune des deux solutions particulières que

l'on obtient ainsi renferme une fonction arbitraire, mais cette fonction ne dépend que d'une seule quantité variable.

Enfin, si l'on considère jo et z^ comme des paramètres liés entre eux par une relation quelconque, on aura encore une solution de l'équation (i) en éliminant, par le moyen de cette relation, y^ et Zo entre les deux équations

*^* \dy,i \dzo) dy\~^'

Tous les résultats qui précèdent sont compris dans un théo rème plus général que nous établirons plus loin.

18. Comme application de ce qui précède, considérons l'équation

u — apqr=^o,

dans laquelle a désigne une constante. On a ici

X = o, Y = o, Z:=o, u = I, p.— — ai/r, Q =: — npr, R = — "/"J t P/' -H QV -+- R/- ;^ — 3 Hf'qr = — 3 u ,

les équations à intégrer sont

da: dr dz du dp __ dfj dr

(tqr apr apq 3u p q /■ '

et l'on trouve de suite les intégrales