Ai

y/ Uo <-'(Io ''o «i^o /'o apo q, 2

Chassant/?» au moyen de l'équation ?/„ — apoqoro=.o, il vient

aq,i\ œqlry

264 NOTE SIR l'iXTÉGRATIOX DES ÉQUATIONS

L'élimination de (/a et de r^ entre ces trois équations se fait immédialenieni; on trouve

a\u^—ul) =S[x — x,) ( j— j„ ){z—z,), €t si l'on pose

l'intégrale générale de l'équation proposée sera le résultat de l'élimination de y^ et de z^ entre les trois équations

on aura on outre les solutions particulières suivantes: i° V = o dans l'hypothèse dej*o> 2„, Uo :=f{r^, z») constantes; 2.°\ = o

^^V , .„ . , , ^ ,- dV

-^ =o dans 1 hypothèse de z^ constante ; 3° \ =o, -y- = o dans

"y^o " (IZq

1 hypothèse de j\ constante; 4" * =f'> -7-7 -t- -rr ? (jo) = o,

dans l'hypothèse de z^ = ?(j>'o).

19. Revenons maintenant aux équations (24), el supposons que les déterminants

ifî'Jfl^ÉÙ^, ifl'ÏL^'IÙifl, dj\df^df^df^ dq» df\ di\ dqo dq^ dt\ di\ dq^ dq^ di\ dr^ dq,

soient nuls. Nous avons vu que si les fonctions/, et/ sont l'une et l'autre indépendantes de r/o et de r», la fonction/ est aussi indépendante des mêmes quantités et que cette circonstance se présente seulement dans le cas où l'équation proposée est linéaire, cas dont nous avons fait abstraction. Nous pouvons donc supposer que / dépend de l'une au moins des quantités qo et n; alors, de ce que les déterminants dont il s'agit sont nuls, il résulte que / et / sont des fonctions de / qui peuvent d'ailleurs contenir,dans leur expression, X, }\, z^. Soit donc

( 3 1 ) / = -M / j -^j Jo, «0, "0 ), f, = o[f,,x, Va, Zo, Uo ) ;

en portant ces valeurs dans les équations (24), et en remarquant que, d'après notre hypothèse, l'une au moins des dérivées

^(/' "^/^ » ATP' . 1

~, -7— est différente de zéro, on aura aqo dro

dh __ „ „ dr^

'dj'-J'-^j'Tf:

puis

d^ d-^ „ f do d'f ''

a<j a^ fi' " ? \

dj\ ^' du, *^" \dj'o ^'' duj

d-^ ^ d-Jj ^ f d<3 d'f

dzo~^ " diio \dzo ' " dug

et en éliminant /s entre ces deux dernières, il vient

(32) i'itîi iliï.\^„ (i±^-.±t'iï\^^,. f^if^il^r]^^^

V^'/o'^'o 'l^o'^-To' °v'"o"'«o '''„'^"„/"' "\^->o''"o àu^iijj

Les déterminants

d-h d(f d^ d'jf d^ f/<P </•} d'f d-^ d(f dAi d^ dfa dzo dzo d)\ duo dz, dzo du^ dy^ duo duo dj-g

ne peuvent être nuls tous les trois, car si cela avait lieu, on déduirait des équations (3i) une relation déterminée entre x, f, fi, /a ou entre x, r, z, u. Donc, à cause de l'équation (Sa), l'un au moins des deux derniers déterminants est différent de zéro, et en conséquence les équations (3i) pourront être résolues soit par rapport à Uo et z„, soit par rapport à u, et j\; nous admettrons la première hypothèse, et nous poserons

{ S„ = 4'(X, f, Z, il, r,).

Ces équations peuvent, dans le cas qui nous occupe, être substituées à la deuxième el à la troisième des équations (sS). Si on les différentie, puis que l'on remplace dn^ par q^dy^-^-rodz^, du par pdx -\- qdy -^ rdz, et qu'ensuite on élimine dz entre