Dans ce paragraphe nous allons nous occuper de l'inté
grale 1 pf/x et étudier les cas où elle cesse d'avoir une valeur
finie et déterminée.
Nous examinerons d'abord le cas où l'intégrale cherchée de l'équation (i) est représentée par un système d'équations de la forme
^V dY dY d\
d)\ ^ du, dz, duo
nous supposerons, pour abréger, que la première équation soil ■ résolue par rapport à u et l'on aura plus simplement
r/M (IM clM cm
M étant une fonction donnée de a:,)-, z, n, 2», Ut)', les valeurs (le p, q, r seront ensuite données par les équations
^M (IM dM
Pour reconstruire l'équation proposée (i), il faut éliminer fo, Za, tio entre les équations (40 et la première équation (40); par conséquent la différentielle totale dF du premier membre de cette équation s'obtiendra en ajoutant les différentielles
, ^ ,, dM dM dM totales de M — «, -j— — p, -— — q,— r, respectivement
multipliées par des facteurs ),, f^, v, p susceptibles de faire disparaître les différentielles df^, dz^, du», qui doivent être regardées ici comme indépendantes. On aura donc
i \ dx ' ' dx^ dxdy " d'xdzj
\ f dM dm ^ d^ , d'M \ ^,
(42) ' ~^ \ df ^ dxdx ' df ~^^drdz)^^
dM d'M d'M d^M
dz dxdz dydz '
— \ du — ^ dp — V dq — p dr,
dz
et les facteurs >, -j-, v, p devront satisfaire aux trois équations suivantes:
/ dM d 'M d^,l d'M __^
[ dj'o dxd)\ dj-dfo dzdjo
] r/M f/'M dm dm
^^ ' 1 dzo dxdzo dydzo dzclz^
f . dM d'M dm dm ^
\ ' duj ' dxduo dfduo dzduo
2 7^ -VOTE SUR 1/ INTEGRATION DES Ei^UATIONS
On lire de l'équalion (42)
(44) -jjr/^- = dx,
et les équations (43) donnent, par l'élimination de )., à cause des deux dernières équations (4o).
/ / d'Vi d'-yi \ f d'M d-y] \ /dm d-M \
\ ''[d7d7r'''didirj-^' [77:ir,-^'''drdirj^!'\-dFdr,-^''"d7d7j=^''-
Or si l'on considère y et z comme des fonctions de x déterminées par les deux dernières équations (4o), il est clair que les équations (45) seront satisfaites en posant
a = (hs , 'j = Jy, = dz ,
puisqu'elles expriment alors les différentielles des équations (4o); l'équation (44) nous donne en conséquence
la dernière des équations (43) donne ensuite
f/loC-r— r/log-— r/log-y-
diii, , dUo , dif., , ,, a M
— / = -, djs H j «}■ H ; dz = d log — ; —
dx dy - dz "^ du„
Ll, comme la dérivée —,— doit se réduire a 1 unité quand on
foit x^^x,, r^ro, s^-o, puisque M se réduit alors à u», on aura
