On voit par là que l'intégrale / -p dx ne peut deve

*^ -'"0 nir inthiie ou indéterminée que si l'on attribue â la i'onclion

AVX lîERIVEES PARTIFXLES DU PREMIER ORDRE. 27 f

fi};::) une forme telle, (\ue la dérivée -, — devienne nulle,

Cl llf)

infinie ou indéterminée après la substitution des valeurs de r et de z tirées des deux dernières équations (40). Mais alors il est évident qu'on ne saurait tirer de ces équations des valeurs déterminées de r et de z se réduisant à n et à z» pour x = Xo,

puisque l'iivpothèse .t=:Xo, >-=rry'„, z = z^ doit réduire -; —

à l'unité; les formules générales deviennent donc nécessairement illusoires et la solution du problème proposé doit être fournie dans ce cas par l'une des intégrales subsidiaires qui accompagnent l'intégrale générale et que nous avons rencontrées dans notre analyse.

Si l'hypothèse x = ar^ fait disparaître r et z des deux dernières équations (io), ces équations se réduiront à des identités, car elles sont satisfaites quand on pose simultanément x=Xo,r=ro, z = Zi,; il s'ensuit que la première équaiion(4o), savoir u = M, ne contiendra plus jo et Zo quand on y fera x=Xo, puisque ses dérivées relatives à n et à ^„ deviennent alors identiquement nulles. Et, comme cette équation u = M est satisfaite quand on pose

x = x,, r = r„ z = z,, Il = Uo=f{ro, z,),

elle se réduira généralement pour x = x^ à uz=f[y, z), et en conséquence elle fournira la solution du problème proposé, solution qui contiendra deux constantes arbitraires j» et Zo-

Supposons maintenant que l'hypothèse x=ix^ ne fasse pas disparaître à la fois y et z de l'une et de l'autre des deux dernières équations {^o). On pourra tirer de l'une de ces équations la valeur de l'une des variables j et :;, et si l'on porte cette valeur dans l'autre équation, celle-ci se réduira nécessairement à une identité pour x=Xa. Je dis alors que si l'on considère l'une des variables n, z^, comme une fonction arbitraire de l'autre, que l'on fasse par exemple z^ = ç(jo), et que l'on désigne par ?'(ro) la dérivée de <p(7o), la solution cherchée de l'équation (i) sera le résultat de l'élimination de y^, ^o, Wo entre

î>-7^- NOTE SUR l'iXTÉGRAÏIOX DES EQUATIOXS

les quatre équations

(48) «a=/(ro, i^o), 2o = 9(j-o);

cette solution renferme comme on voit une fonction arbitraire ep, el si l'on suppose qu'on ait remplacé dans M, tio et z^ par leurs valeurs tirées des équations (48), les équations (47) pourront s'écrire plus simplement

Il = M, -j— := G

Les équations (47 ) fournissent, comme on l'a déjà dit (n" 17), une solution de l'équation proposée (i); par conséquent, pour établir ce que nous venons d'avancer, il suffit de prouver que les équations (47 ) et (48) donnent par l'éliminaiion de Vo, z^, m„, une valeur de u qui se réduit a /{y, z) pour x=zxt,.

Dans l'hypothèse où nous nous sommes placé, les deux dernières équations (4o) et la deuxième équation (47) se réduisent pour ^ r= Xo à une seule el même équation; par conséquent, lorsqu'on donne à x cette valeur particulière x», les équations (47) peuvent être remplacées par les équations (4»), dont les deux dernières, nous devons le répéter, rentrent l'une dans l'autre. Or, je dis que si, après avoir remplacé Ho par/(ro, 2o), on tire la valeur de 2» de l'une des deux dernières équations (4o), pour la porter dans la première m = M, le résultai de la subslilulion sera indépendant de j». En effet, après cette substitution, la dérivée de M relative à j'o est

uni dM \ uni (nisdzo

\dj^o ' ditj \dzo " du,) d)\

-y- exprimant ici la dérivée de z, relative à n tirée de l'une des df,

deux dernières équations ( ^o ), en y considérant j"» et z, comme seules variables. Mais l'expression précédente est identiquement nulle en vertu des équations (4»); donc l'élimination de jo fait disparaître en même temps z^. Et alors il est évident que

AUX DÉÎUVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. ajS

l'équalion u = M se rcdiiil à u=f{)-, z ) pour x = Xo, puisque les équations (4o) sont idenliquemenl vérifiées quand on y fait slmullanémeni x = Xo, j=:^o, z -j= z^, u =zf[y\, Zq).

24. Pour montrer un exemple très-simple de l'analyse qui précède, considérons l'équation

on a ici

P lû

Les équations différentielles à intégrer sont

, . , , , , II' dp 11" (In lOdr

u^dx = a^dy = r^dz = udu = — = = ;

on en lire

Uo po qo t\

\]x — Xo /r — .)"o s/z —

Po Ço n Uo

et à cause de — = ! — ■ -\ , on obtient immédiatement

Uo Po qo 'o

l'équation u = M, savoir :

\/ '^O 77 == ^-^^ "~ -^'o "+" V/J — Jo + \/z — Zoj V "o

ou On aura donc la solution générale demandée en joi-

274 NOTE SUR l'iXTÉGRATIOX DES EQUATIONS

gnanl à celle éqiialion celles que l'on en déduit en la dlfférenlianl par rapporta n et à z»; on obtient ainsi

\.T — .r„ -+- \/>- — )'„ — V'; q, — II, ~

v.r— Vo

I\ — lia " = O.

résultai f}u'il est facile de vérifier au moyen des valeurs écrites

f U plus haut. L'intégrale — | -pf/^ a ici pour valeur

ou, en rcmplarauty^o par sa valeur en l'onction de qa, r, et u„

J^^ I» [ij.i\,-{ij.^r.)ii..\-

On trouve pour lo"-7^ la même valeur, comme il est facile de

s'en assurer. Celle valeur devient infinie quelle que soit x, si l'on a

et on voit de suite que, dans ce cas, nos formules générales sont illusoires. La solution demandée est alors donnée, d'après notre théorie, par l'équation qui résulte de l'élimination de l'o, z^, lia, entre

V-r - -r,, -i- \/r — J ,, -r- v's — So\ , , , / \''' — J-. H- V^' ~r,. -+- V''-' - '.^

"o=f{ro, Zo),

On se trouve placé dans le cas particulier que nous exami-

AUX DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 1-j .\

nons, si l'on prend

la deuxième des équations du système précédent est alors satisfaite pour x = x^ en posant

et l'on trouve sans difficulté que la valeur de u se réduit, dans la même hypothèse, à

25. Considérons maintenant le cas où la solution générale demandée de l^ét] nation (i) ne se présente pas comme une équation résultant de l'élimination de deux variables 7,,, 2, entre une équation donnée et ses dérivées prises par rapport à j'o et par rapport à z^. Nous avons vu que, dans ce cas, l'intégrale demandée résulte de l'élimination de j, et de z^ entra trois équations telles que

, it,= 'i'{x, r, z. II, Vo), -^ , ] ^0 — '^(•^' r» ^' "' ;>o)f

oîi H' et* désignent des fonctions données; les valeurs da p, q, r sont ensuite données par les trois équations

dw d<\> dT <-/<!' d'i- d'l>

dx "dx d^■ " dy dz "dz

du "du du "du du * du

et l'on peut évidemment reconstruire l'équation différentielle proposée en éliminant r^ et r^ entre les trois équations (5o), ou ja, To et n entre les quatre équations

''\lx

o, — I^ii -;

dA>

dj-'

^'"Th-

2^6 NOTE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS

Si i'on ajoute les différenlielles totales des équations (5i), après les avoir multipliées respectivement par des facteurs ^) y-> '■>, P propres à faire disparaître dro, dr„, dû., on reproduira la différentielle dF du premier membre de l'équation proposée, et l'on aura en conséquence

\] — ^ (J j^U^ , j^l^\ , [Ail-— Al^\

"\clx du " dx du) ' " \ f/j- du " dy du j

à cause de la dernière équation (5o), on peut écrire

,^, U , . f/logn dXo^D. dXosQ. f/lo^n

P dx ' ^ dr ' dz ■ ^ du

Quant aux facteurs )., p, v, o, ils doivent satisfaire aux trois équations

, d'Y d'V dw dT __

dx dy dz " du

dx "^ "' dj- dz ' ' du

cî:-\Y d^<î> \ [ d'"¥ d'^

dx dfg dx dy'a j \ dy dy\ dy dy\

d^T f/24, \ / ^/2vjr f/J,î, ^

\ dz dj 'o " dz d} "o / ^ \ du dy^ ° du dyj '

et il est évident que ces équations sont satisfaites en posant

'j.:=dx, y.=zdy, -j^^dz, p:=du,

les différentielles dx, dy, dz, du se rapportant au cas où l'on considère y, z, u comme des fonctions de x déterminées par les équations (49)- En conséquence, l'équation (52) donne

U , fl?losP- , f/lo£;a , f/loen , o'iogn ,,

AUX DÉRIVÉES PAllTIELLLS DU PREMIER ORDRE. 277

et par suite

(53) -j^^ p-./x = logn = log^^-r.^

en remarquant que -^ et -^ se réduisent respectivement a ï

et à zéro pour a: = a:o, puisque les équations (49) deviennent identiques pour x==^x^, y^^y^, z^=-z^, u = u„.

C U 26. On voit que l'intégrale / —dx no. peut cesser d avoir

une valeur finie et déterminée que si l'on attribue à la fonc-

dw d<i>

tion /{j, -2) une forme telle, que la fonction —, r» -7- devienne nulle, infinie ou indéterminée, quel que soit x; mais puisque cette quantité doit se réduire à l'unité, pour x = Xi), par les conditions mômes du problème, les équations (49) deviennent nécessairement illusoires. Si donc on lire des deux premières équations de ce système les valeurs de u et de z pour les porter dans la troisième, celle-ci sera impropre à aeterminer une valeur dey se réduisant à jo pour x=x^; l'hypothèse xz=Xo fera donc disparaître j, et en conséquence l'équation dont nous parlons se réduira à une identité, puisque les trois équations (49) sont vérifiées en posant x = x,, f = yg, z = Zo, u:=^u^. En d'autres termes, la troisième équation du système (49) est vérifiée identiquement pour x^=^x^, en vertu des deux autres; or l'élimination de 3^ entre ces trois équations conduit évidemment à deux équations de la forme m=M, ( —^ ) = o, M étant une fonction de

X, y\ z et dej'o, et puisque la seconde doit avoir lieu identiquement pour x=^Xf, en vertu de la première, il est évident que l'hypolhè.se x^^r, fait disparaître jo tie M. Enfin l'équation t<=M étant satisfaite pour xt=x„, y^y^, z^^^z^, u=if{y\, z^), elle donnera généralement u=f{y', z) pour ;r=:^o- Donc, dans le cas qui nous occupe, la solution du problème proposé est fournie par les deux premières équa-

278 XOTE SUIl l'iXTÉGKATION DES EQUATIONS

lions du système (49), ou, ce qui revient au même, par réqualion unique

i^i) fin, '^ {^, y, z, n, Xo)] — ^(.s:, r, z, u, j„),

qui renferme une constante arbitraire j,-

27. Pour donner un exemple de ce cas, considérons l'cqualioii

On a ici

q = -2{p-ry, i{=-^q{p—r),

<il les équations différentielles à intégrer sont

f/^ dy — (h (/u dp dq dr

^(jip — ')~~ ^{p — rf~ ^qip— i)~ 3u~ p ~ q "' r'

On tire de là

qo fo '

puis

y—.ro

«l en remplaçant />« — /o par sa valeur i / — ^% il vient

} — J\= \^ ^0), z Zo=^ — {X ^nj, U ^1= .^' ■X^o)'

On a ensuite

— ^dx = log -!^ i=

Celle inlégrale devienl infinie quel que soil .r si l'on a

(Jo = o,

c'esi-à-dire si iio ou /(/o, Zo) se réduil à une fonciion o( Zo) de Zo seule, cl il esl évidenl que nos formules deviennent illusoires. Mais, dans le cas général, ces formules donneni, par l'élimination de qo,

u; = 11^ — {x — X, y ( j —}\y , zo = z -h{x — X, ),

et l'intégrale cherchée de l'équation proposée sera le résultat de l'élimination de >-o entre l'équation

[/(jo, - + -r -.ro)f = «' — (^^' — ■"^•'Y (j — rO%

et sa dérivée prise par rapport à j». Dans le cas où la fonction fiy, z) se réduit à une fonction o{z) de z seule, la solution demandée est donnée, d'après notre liiéorie, par la seule équation précédente (jui devient

«• =(a-— X„j= (>• — Jo)' •+ [oiZ-i-X — ^0)]";

on voit que cette valeur de m se réduit bienk o{z) pour x = x^.

28. L'analyse développée dans les paragraphes précédents montre que, dans le cas de deux variables indépendantes, l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles esl le résultat de l'élimination d'une variable j'o dont dépend une fonction arbitraire enlre deuv équations dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à j'o. 11 n'y a d'exception qu'à l'égard des équations linéaires relativement aux dérivées partielles ; l'intégrale est alors représentée par une équation unique où figure une fonction arbitraire.

Dans le cas de trois variables indépendantes, il peut se présenter trois cas : 1° l'intégrale générale est représentée par le système de trois équations dont deux sontles dérivées de la troi-

28o NOTE SUR i'iXTÉG RATION" DES EQUATIONS

sième par rapport à deux variables auxiliaires jo, 2„; 2" l'intégrale générale est représentée par le système de deux équations dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à une variable auxiliaire n; 3" enfin l'intégrale générale est représentée par une équation contenant une fonction arbitraire de deux variables. On a vu que ce troisième cas ne peut se présenter que si l'équation proposée est linéaire par rapport aux dérivées.

Ces différentes formes sous lesquelles se présente ainsi l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles sont inhérentes à la méthode que nous avons adoptée. On peut toujours, en effet, représenter l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dans le cas d'un nombre quelconque n de variables indépendantes, par un système de n équations dont l'une renferme n — i variables auxiliaires avec une fonction arbitraire de ces variables, et dont les n — i autres sont les dérivées de la première par rapport aux auxiliaires.

Soit, en effet, l'équation

dans laquelle u désigne une fonction des n variables indépendantes X, y, z,. , . , et où p, q, r,..., représentent les dérivées partielles de u par rapport à x, j-, z,. . ., respectivement. Supposons que l'on ait trouvé une intégrale complète de cette équation, c'est-à-dire une solution renfermant n constantes arbitraires a, 6, 7, . . . , (î. Soient

celte intégrale complète. On en tirera

,^, clY dV d\ d\ d\ d\

(^^ 7hc-^P-cùc=''^ ■^+^^=°' dz'^"du = ''-"

et l'on reconstruira évidemment l'équation (i) en éliminant les n arbitraires a. S, 7,. . ., (î entre les équations (2 ) et (3). Supposons maintenant que l'on remplace l'arbitraire S par

Ai:x DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREiMIER ORDRE. 28 1

une fonction arbitraire

des n — I autres et que l'on considère celles-ci comme des variables. Il est évident que les équations (3) subsisteront, si l'on assujettit les arbitraires devenues variables à satisfaire aux n — 1 équations

,,, dV dV dV

^^) ^=-"^' -dï=''' 777^"'-"

et par conséquent le système formé par les équations (2) et (4) représentera une solution de l'équation proposée contenant une fonction arbitraire de n — i variables.