APPLICATION A LA THÉORIE DES LIGNES ET DES

SURFACES COURRES.

Celle Note est le résumé de deux Mémoires publiés l'un dans le tome XVI du Journal de Mathématiques pures et appliquées, l'autre dans les tomes XLI et XLII des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

Quelques-uns des résultats contenus dans le premier paragraphe font partie d'une lettre que j'ai écrite, il y a plusieurs années, à M. Liouville, et qu'il m'a fait l'honneur d'insérer dans une des Notes qu'il a publiées avec la cinquième édition du chef-d'œuvre de Monge, V Application de l'Analyse à la Géométrie.

Formules relatives aux lignes courbes.

1. Considérons une courbe à double courbure rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires. Soient M un point de cette courbe ; MT la tangente en M ; MN la normnle principale, c'est-à-dire celle qui est située dans le plan osculaleur et avec laquelle coïncide le rayon de courbure; MLl'axedu plan osculateur. Je désignerai par (a, 6, 7), (Ç, u, Ç), {\, p,v) les angles formés avec les axes coordonnés par les droites MT, MN, ML respectivement; par ds la différentielle de l'arc terminé en M ; par di et dn les angles de contingence et de torsion; enfin, par p et r les rayons de courbure et de torsion, lesquels ont pour valeurs, comme on sait,

, ^ ds ds

^ ' '^ ds an

Je me propose d'indiquer ici quelques formules par lesquelles on simplifie notablement la solution de diverses

2^4 MOTS SLK lA IMkUKlE

questions relatives à la théorie des lignes et des surfaces courbes. Ces formules permettent d'exprimer les différentielles des divers ordres des cosinus des trois angles a, Ç, /, ou G, V», p, ou 7, Ç, V, par des fonctions linéaires de ces mêmes cosinus dont les coefficients ne contiennent que ds, r, p et leurs différentielles. Je donnera/, ensuite quelques exemples qui suffiront pour montrer le ptirii que l'on peut tirer de ces formules.

Rappelons d'abord les formules connues

ds:=z \J[d cos a)' -+- {dcos ^jf ^-(û^cos7)^ dn— \/ {d cosiy -i- [d cos nY + ( Jcosv)', dcos a. dcos K

cos ç = ; = p ,

d t ds

, dcos^j dcos^j

(3) cosu = -^=p^.

d'où l'on lire

fi? cos 7 dcos y

fif COSa = cos 4 — '

(4) < a cos6 = cosu — ?

I , ds

I dcOi,y — COS ç