En vertu des équations (3), les équations

COS a cos t -^ cos 6 cos y -+- COS 7 COS l, := o, cos \ cos ? H- COS {A COS u + COS V COS Ç -- O,

deviennent

^ j COS a C? COS a H- COS ê C? COS 6 -^- COS 7 (/ COS 7 = 0,

I COS/ t/cOSa -T- COS fzrfcOSê + COSv C?C0S7 — o.

D'ailleurs, en différentîant les suivantes :

COS a COS l 4- cos § COS fi -h COS 7 COS v ^ O, COS'/ + COS^fX -+- COS-vr=: I,

DES LIGXES ET DES SURFACES COURBES. aSj

ei ayant égard à la seconde des équations (5), il vient

^ ( COS a d ces 'k -}- COS ê d COS fi -f- COS 7 </ COS V = O,

1 cosX dcosl -t- COS f* rfcos u. + COSv f/cos V = O.

On voit que les équations (6) ne différent des équations (5) qu'en ce que d cos a., d cosè, rfcosy y sont remplacées par dcosl, f/cosp, rfcosv; d'où l'on conclut que les premières différentielles sont proportionnelles aux dernières : on a donc

- , dcos\ d COS n dcosv dn p

d cos a d cos ê d COS 7 ds r

Ces équations (7) démontrent le théorème suivant :

Si a. et y. désignent les angles formés avec une droite fixe D par la tangente et par l'axe du plan osculateur en un point M d'une courbe à double courbure, le rapport

d cosl dcos a est indépendant de la droite D, et sa valeur est égale au rapport de la première courbure à la seconde {*). Des équations (4) et (7) on déduit

rf cosX = cos ç ^i r

(8) J ûfcosfA = cosu — ,

dcos V = cosç

r ds

(*) I\I. Bertrand, à qui j'avais communiqué ce théorème, l'a proposé comme exercice aux élèves de l'École Normale. L'un d'eux, M. Guiraudet, lui a remis la démonstration géométrique suivante, qui est d'une extrême simplicité :

« La direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont pron portiontiels à d cos «, d cos 6, d coç y, est celle du rayon de courbure. Si l'on » mène par l'origine deux parallèles aux axes des deux plans osculatpu'rs inlij) uiment voisins, et que l'on prenne sur cos parallèles des longuaurs OM, O.M' » égales à l'unité, la ligne MM' qui joindra leurs extrémités fera avec les axes » des angles dont les cosinus sont proportionnels à dcos)., d cos /x, dcos-j. )) Ainsi, pour prouver notre théorème, il suffit de montrer le parallélisme deces » deux directions. Or cela est évident, car le plan parallèle aux axes de deux » plans osculateurs voisins est parallèle au plan normal de la courbe proposée, Il et la droite MM' située dans ce plan est évidemment perpendiculaire à l'axe » du plan osculateur, et, par suite, parallèle au rayon de courbure. »

286 NOTE Sun LA THEORIE