COS 4 COS
el, à cause des équations (4 ) et (8),
d COS ç = — ( COS y.dt-\- COS \dr,) COS a COS>. \ ,
ds',
on a donc les trois nouvelles équations
/' , ^ / COS a COS ^\ ,
d COS ? = — 1 ds,
, , I , / COS C COS y. \ ,
I , /COS 7 COSv\ ,
d COS C.= — [ H ds ;
d'où l'on tire
(10) (f/C0Sf)^H-{c^C0S v)'+(6?C0S 1)'= I— +-) ds^
Divisant les équations (g) par é?5, différentiant ensuite, et ayant égard aux équations (4) et (8), on obtient les suivantes :
/ ,f/cos? / I l\ ^ j ( , I , ^ 7 '\
d — -, — = — — 1 — COS Ids — COS ot.d--\- cos ). « - .
\ ds \p^ /'-/ \ p rj
, J jdcosyj / I I \ , / -, I , i\
(ii)^ d — ; — z= — — I COS y ds — cos "5 a — hcosy.f/- ,
I ds \?' 'V \ p '7
\ jdCOSC / I l\ .^ j f , I , ; i\
d : = — 1 I COS C,ds — COS 7 d h COS V rf - •
\ ds \p^ r'J V p r
k. Des formules qui précèdent, découlent immédiatement deux théorèmes remarquables. Le premier de ces théorèmes, qu'on établit facilement par des considérations géométriques.
a étédémonlré analjliquemenl par M. Puiseux {voir le lome Vi du Journal de M. Liouville). Il consiste en ce que l'hélice ordinaire est la seule courbe dont les deux courbures sont constantes. Le second théorème est dû à M. Bertrand, qui l'a démontré géométriquement; il consiste en ce que les courbes dont les deux courbures ont un rapport constant sont des hélices tracées sur un cylindre à base quelconque.
Le premier des deux théorèmes dont il vient d'être question résulte immédiatement des équations ( 1 1 ), qui, en faisant, pour abréger,
et prenant ds pour la différentielle constante, donnent, si r et p sont constants,
d^cosl
cosï:.
En intégrant, on a
cos H = cos a cos h cos a sm — »
cos y = cos b cos h cos b' sin — ?
Ini m
cos <; = cos c cos h cos c sm — j . ni m
en désignant par a, 6, c, a', b', c' les angles formés avec les axes par deux droites arbitraires D et D' perpendiculaires entre elles. Si x,f, z représentent les coordonnées de la courbe, on a
f/rosa d-x
'^''^"=p-dr=^'ds^''
les équations (i3) donnent alors, en intégrant,
I clx ( s s \
l p -T- = m cos a sin cos a' cos — ) -f- n cos n" ,
ds
.4) oi
('4) ■\ P-T- = "M cos b sin cos // cos — ) -f-n cos b" ,
^ ' as \ m m I
dz .s , s .
I p -^ = 7ji cos c sin cos c cos — ] -\-n cos c ,
\ ds \ m m
où n désigne le radical \/p- — ni', et a" , b" , c" les angles formés avec les axes par une droite D" perpendiculaire aux droites D et W. Si l'on fait coïncider les droites rectangulaires D, D', D" avec les axes des a;, des 7' et des z, les équations ( i4) se réduiront à
dx . s
n —j- =z m sin — •> ' ds m
dy s
-T- = — m cos — ds ni
dz P-ds='''
d'où, en intégrant.
X — Xo^= cos — ?
T — V^ = sin —
ou, en transportant l'origine au point arbitraire {xo, y^, ^o) et éliminant 5,
■ cos •>
sin
mn
Ce sont les équations de l'hélice ordinaire.
5. Le second des deux théorèmes dont il a été question au numéro précédent, se démontre très-facilement en faisant usage des équations (7). Nous nous proposons de trouver les
courbes dont les deux courbures ont un rapport conslanl k. On a
(16) dn = kdc, ei, par suite, en vertu des équations (7),
[ dcos'k — Ac?cosa = o,
(17) I C?COStx — Itdcosfj = o, [ d cosv — hd COS7 = o ;
réciproquement, l'une des équations (17) entraîne l'équation (i6). En intégrant, on a
cosX — Il cosa = constante, cos/A — /r cos§ = constante, cosv — Il C0S7 = constante ;
la somme des carrés des premiers membres ayant pour valeur i-f-/i% on aura
COSX — /rCOSa= sjl-h l>^ cosa',
cos/x — /rcos6= v^i-i-/.= cos6', COSv — /< COS7 1= y/ 1 -1- A' COS7',
ou bien
COS). = /,- cosa H- y/ 1 -t- /i^ COSa',
(18) < COSfx = Il COSê H- V I H- /'■' CO36',
( COSi' = II' COS7 -h \/ IH- /i ' COS7' ;
a', ê, 7' étant les angles formés avec les axes par une droite fixe arbitraire. Si l'on prend cette droite pour axe des z, les équations (18) deviennent
( COS^L = /rcosa, (iq\ / cos*E= AcosS,
( COSv = k COS7 -+- \/i H- k';
élevant au carré ces équations (19) et ajoutant les résultats, on a
(20) COS7 = — -r :r-^»
^go NOTE SUR LA THEORIE
d'où
,ai) cosv =
L'équation (20) montre que la tangente à la courbe considérée fait un angle constant avec l'axe des z; c'est donc une hélice tracée sur le cylindre qui la projette sur le plan des xy-
;1 est facile de voir que, réciproquement pour toute hélice, c'est-à-dire pour toute courbe qui satisfait à l'équation (20), l'équation (16) a lieu. En effet, 7 étant constant, les équations (3) montrent que cosi; est nul, donc la normale principale est constamment perpendiculaire à l'axe des z : alors l'équation (20) entraine l'équation (21) à cause de
cos'Ç H- cos=7 -h cos'v := I .
D'après cela, on a
COS'). -+- COS'fA ^=
COS-a -H COS^ë = j-y
COSaCOS). H-COSS COSlJ.= r-;
en ajoutant ces équations, après avoir multiplié la seconde par II- et la troisième par — a/r, il vient
(cos). — /rcosy.)--i-(cos.ot — /rcosê)' = o,
d'où l'on conclut les équations (ig), et, par suite, les équations (17) et (16).
Il est facile d'établir maintenant que la projection sur le plan des ^jde la courbe qu'on vient d'étudier, est un cercle si les deux rayons de courbure et de torsion sont eux-mêmes constants, ce qui donnera une nouvelle démonstration du théorème établi au n" 4.
En effet, à cause des équations (19), les équations (9) donnent
dcos^ := dcosu = ■
cos 7. cls = — ■ - ajc,
\ cos S «5 = '-- dy;
d'où, en inlégranl et désignant par x^, jo deux constantes,
X — ^0— r- — : cost,
J— ro = — ;:^^, cosu.
Élevant au carré et ajoutant, il vient, à cause de cosç^o,
ce qu'il fallait démontrer.
6. L'équation du plan normal en un point M [x, y, z) d'une courbe à double courbure, est
(22) (^, — x) cosa-h (j-, — y) cosS-f- (3, — z) cos7=o.
Différentions cette équation par rapport à la variable indépendante douter, y, z, a, S, 7, etc., sont fonctions, on aura
{x, — x) dcosj.-\-{y\ — y)dcos&-\-{zi — ;;)(/cos7 = ds,
ou
(23) [x, — x)cosl 4-(j-i — )-)cosy H-(:^, — s)cos!; = p.
Le système des équations (22) et (23) appartient à l'intersection du plan normal au point M et du plan normal infini ment voisin, ou, si l'on veut, à l'axe du cercle osculateur qu'on nomme aussi droite polaire. En différentiant de même l'équation (23), il vient
[x, — x)d cos l + ( j'i — y) d cosu -f- ( ^1 — z)d cosÇ = do,
car dx cos'E, -{- dy cos^ -^ dz cosÇ est nulle; en faisant usage des équations (9) et ayant égard à l'équation (22), la dernière équation devient
{24} (^"i — a:)cos)i-h(/, — y) cospi ^- (3, — z) cosv = — r-j- Le système des équations (22), (23), (24) représente l'in-
lerseclion de trois plans normaux infiniment voisins, c'est-àdire le centre de la sphère osculatrice au point M, Si l'on ajoute ces trois équations, après les avoirmultipliées respectivement, d'abord par cosa, cosÇ, cos)., puis par cosS, cosu, cosp., puis enfin par cos 7, cosÇ, cosv, il vient
dp
Xi — ^ = P cosÇ — r-f cos>, ds
(2.5) ^ j', — >-=fiCOSu — r-j-cosi).,
dp
Zi — z =:p cos!; — r-f- cosv.
■^ ds
En élevant les équations (sS) au carré, et désignant par R le rayon de la sphère osculatrice, on a
De là résulte ce théorème :
Si une courbe est tracée sur une sphère, la quantité p- -f- r' -f^
est constante en chaque point et égale au carré du rayon de la sphère.
Réciproquement :
Si en chaque point d'une courbe la quantité o'' -\- r- -—-
est constante, la courbe est sphérique, à moins que son rayon de courbure p ne soit constant.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de différenlier les équations (sS). On trouve ainsi, en se servant des formules données précédemment,
Ainsi la condition pour que le centre de la sphère oscula-
dxi =
dr^=-
tds + d{^r^^'jcos^.
dz, =
— - ds + ^^ ( '^ "7' ) cosv.
trice soit le même pour les différents points de la courbe est
r \ ds
elle n'est pas satisfaite si p = une constante. Elle devient in-
légrable en la multipliant par ^r-p» et l'on trouve
&= H- r- —j- = constante, ' lis'
équation qui est satisfaite par p = une constante. En excluant ce cas, on voit que si la précédente équation a lieu, les quantités ^, , /, , z,, R sont constantes pour tous les points de la courbe proposée; cette dernière est donc tout entière située sur une sphère fixe(*).
Les équations (27) peuvent servir à démontrer ce théorème
(*) M. Bertrand m'a donné de ces résultats une démonstration géométrique fort simple, fondée sur des considérations dont il a déjà plusieurs l'ois fait usage. Je crois devoir la transcrire ici : ,
« ISommons p le rayon de courbure d'une courbe, s' l'arc de la courbe lieu
n de ses centres de courbure : le triangle infinitésimal formé par l'arc ds' , la
» normale principale qui aboutit à Tune de ses extrémités, et la perpendicu-
11 laire abaissée sur celte normale par l'autre extrémité de ds', montre que le
dp » cosinus de l'angle formé par l'arc s' avec le r;iyon p est égal à - ,• Si l'on rc-
>i marque que le rayon p est tangent à la surface développahle lieu des axes des » cercles osculateurs sur laquelle estsitué l'arc rfi', et qu'il coupe à angle droit
» la génératrice correspondante, on en conclutque -—7 est aussi le sinus de l'aj^-
» gleque ds' forme avec cette génératrice, et que, par suite, dp est la distance • ■■ de l'une des extrémités de ds' à la génératrice qui passe par l'autre extrémité; j mais l'angle de deux génératrices égal à l'angle de deux plans osculateurs de
» la courbe proposée, est mesuré par — » en désignant par ds l'arc infiniment
» petit de cette courbe et par - sa seconde courbure. Si donc on nomme u la
n distance de l'arc ds' au point où se coupent les deux axes consécutifs, on aura
di dp
dp = u — •) u^r —^' ' r ds
n Or le rayon p, la distance u et le rayon R de la sphère oscujatrice (ornient » évidemment un triangle rectangle; donc
' db'
» Si l'on porte sur des normales à une courbe une longueur constante, la courbe
294 XOTE SUR Ï.A THÉORIE
connu, que le lieu des centres des sphères osculatrices d'une courbe quelconque est l'arête de rebroussement de la surface développnble lieu des droites polaires ou axes des cercles osculateurs.
S'il s'agit d'une courbe dont le rayon de courbure p est constant, mais seulement dans ce cas, les équations (25) se réduisent à
