US
et, comme les coordonnées x^,j\ , Zy sont constamment nulles, les équations (aS) deviennent
• ^ . do
x^ — P cos Ç H- /■ -7- cos A , ' ds
>9) \t=^ — p COSy -f- /'-^COS u,
do
\ z ~. ■ — p cos 'C -1- /'—,'- cos V .
» lieu (ie leurs extrémités les coupe toutes à angle droit; si donc R est constant, » l'arête de rebroussement de la surface développable doit, si elle ne se réduit pas « à un point, couper à angle droit les normales de la courbe proposée qui pas- I. sent par les différents points, ces normales sont donc perpendiculaires à l'axe B des cercles osculateurs et sont, par conséquent, des normales principales; » B se confond donc avec p, et l'on a
p =; constante. »
Il est facile de voir que les courbes sphériques de courbure constante sont des cercles. En effet, si p est constant, l'équation (28] montre que l'on a r=co ou p = rt. Dansle premier cas, il est évident que la courbe est une circonférence, puisqu'elle est plane. Dans le second cas, où p = «, les équations (29) donnent.
x= — rtcos?, r= — acosv, z= — «cosi;.
D'ailleurs, en prenant l'arc s de la courbe pour variable indépendante, cos?, cos u, ces <; sont proportionnels à d^x^ d\i-, d'' z; on a donc
)d-z — zd-y=: o, zd'^x — xd^z — o, xd'^y — yd''x — o.
Intégrant et désignant par A, B, C des constantes, il vient
1 dz — zd}^ = A ds , zdx — xdz = B f/^ , xdy — ydx = C ds ;
enfin, en ajoutant ces équations respectivemer.t multipliées par X, y, z, il vient
qui est l'équation du plan d'un grand cercle.
La recherche des courbes sphériques dont le rayon de torsion r est constant, présente plus de difficulté. Je me bornerai à montrer que ce problème dépend de l'intégration d'une seule équation différentielle du deuxième ordre.
Si r est constant, l'équation (28) s'intègre, et donne
ou simplement,
. ^ — ^0 p=^«sm — ; —
, s p-:=a sm - ?
puisque l'origine des arcs s est arbitraire. On déduit de là
do s
r-r- = a cos - »
as r
el les équations (29) donnent
X s ^ . s d cos \
- =; COS - COS >. — r sin -, — 5
a r r as
., , ) y s . s d COS II
3o) <- = cos-cos« — rsin , '- ,
a r ' r ds
z s . s d COS V
- = cos-cosv — rsin ^ — •
a r r ds
Le problème est ainsi ramené à exprimer cos )., cos f*, cos v en fonction de s, car les équations (3o) donneront ensuite x, y, z en fonction de cette variable.
La première des équations (9), savoir,
/cos a rosX\
rfcos^ = — 1 ds.
donne, à cause de
d cos ). I
cos? = r — -. — et cosa=v'i — cos'). — cos'?,
et en prenant toujours s pour variable indépendante, d^ cos ).
r I . /dcos\\'
, . , cos / ds
ou, en remplaçant p par sa valeur a sin - ?
A / . /(/cos>\^
,.j + ry^i-cos->,-r-(^-^j
s f f/-cos).
a sni- ( r' — — h cos à ) + r V / i — cos-' >. — r' | — ; — 1 = o.
On peut prendre pour unité le rayon r de torsion, el l'on voit alors que l'équation différentielle du deuxième ordre
;3i) «sin5 ( -p; 4-^ ) 4- 4 / I — 1= 7^=0
est satisfaite par ç = cos)., =cos 'j., = cosv.
En combinant l'équation (3 1) avec celle qu'on en déduit par la diflérentiation, on obtient une équation linéaire du troi-
ors LIGNES ET DES SLRFACES COUIJBES. 297
sième ordre, mais l'intégration de celte équation paraît offrir de grandes diffic-ultés.
8. Dans un Mémoire inséré au tome XV du Journal de M. Liouville, M. Bertrand a démontré que les normales />rmcipales d'une courbe à double courbure donnée ne peuvent être les normales principales d'une autre courbe, à moins qu'il n'existe une relation linéaire entre les deux courbures de la courbe donnée. On démontre ce théorème d'une manière trèssimple et très-élégante en faisant usage des formules obtenues plus haut.
Soient x, y\ z les coordonnées rectangulaires de la courbe donnée, et cherchons la condition pour que les normales |)rincipales de cette courbe soient aussi celles d'une autre courbe. Désignons par x^, ji , s, les coordonnées de celte deuxième courbe, par ds^ la différentielle de l'arc, et f/si l'angle de contingence.
On doit avoir, a étant une constante,
(Sa) Xi - r -acosÇ,
'33) d —7-^ ~ cosldii.
ds,
Différentianiréqualion(32), il vient, à cause de Jjc — </5C0sa,
dxi -- ( f ) cos « cos À ds :
de cette équation et des deux autres semblables relatives aux a\es des j- et des 2, on déduit
ds, — sJ(\—-\-^-^ds=\kds;
on n, d'après cela,
dxi I fV <^i-\ « ^^
-7— = -î7 I cos y. cos X :
ds, R L\ ?! '' J
différentiant cette dernière équation et comparant le résultat
Lacroix, Cale, diff., \\. 20
avec l'équation (33), il vient
Il est évident que celle équation aura lieu encore si l'on remplace a, \, ^ par S, p, u ou par 7, v, i; respectivement ; d'où il suit que les coefficients de cos Ç, cos a, cos \ sont nuls. On a donc
ds
(35) r'^^7-^i'-7JX =
Ces équations (35) sont le résultat de l'élimination de ^,, ji, 2, , entre les équations (32), (33) et les quatre semblables relatives aux axes des j et des z. Les deux dernières ne contiennent que p et r, car
et elles conduisent au même résultat par l'intégration. On déduit de l'une ou de l'autre
b désignant la constante arbitraire. Telle est la condition à laquelle doit satisfaire la courbe donnée pour que ses normales principales appartiennent à une autre courbe. Quant à la première des équations (35), elle fait connaître l'angle de contingence de, de la seconde courbe.
§ IL Sur les Uanes de courbure des surfaces.
9. Considérons une courne C située sur une surface S. Désignons par a, 6, 7 les angles que forme avec trois axes
rectangulaires, la tangente à la courbe C au point {x, y, z); par Ç, y, Ç et l, a, v, les angles formés avec les mêmes axes par la normale principale et par l'axe du plan osculaleur. Soient aussi dseidrj les angles de contingence et de torsion. Les onze angles qui viennent d'être définis et les coordonnées x, j, z doivent être considérés comme des fonctions d'un paramètre dont les diverses valeurs répondent aux différents points de la courbe C.
Soient a', 6', 7' les angles formés avec les axes par la normale de la surface S au point {x, j, z ) de la courbe. C. On peut assigner une courbe C dont les points correspondent aux points de la courbe C et telle que la tangente au point {x',r', 2') qui correspond à {x,y, z) fasse avec les axes les angles a', 6', 7'. Si la courbe C est une ligne de courbure de la surface S', les normales à celte surface aux différents points de la courbe C forment une surface développable dont l'arête de rebroussement peut être prise pour la courbe C. Dans tous les cas, la courbe C étant définie comme il vient d'être dit, nous désignerons par ^', u', 'C et V, p', v' les angles que forment avec les axes la normale principale et l'axe du plan osculaleur de cette courbe C; par ds' et dn' les angles de contingence et de torsion.
Cela posé, on peut écrire les trois groupes suivants de formules par lesquelles les angles w el cj se trouvent complètement définis.
iCOS a COS k' -\- COS ê COS ê' -h COS 7 COS 7' = O, COSa COSç' H- COS 6 COS u'n- COS 7 cosi;' =:sir-w, COS a COS /'H- COS 6 COS fi' -h COS 7 COSv' =:COSw ;
1 COS ?cosa' H- COS u COS 6' -h cosi; COS 7' = — sin cr,
(2j < COS Ç COS ^' -I- COS u COS y' H- cosi; COS ?' = — COScjCOSm,
\ COS l COS V -\- COS u COS i/.' + COS î; COS •/ =z cos cr sin w ;
I COS )> COS a'-i- COS f* C0S6'-t-C0S v COS7' = COS cjj
(3) ) COS > COS Ç' 4- COS f* COS y' -h COSv cosi;' = — sincTCOsoj, [ cos). COS V -h COS fx cos f/.'-l- COSV cos •/ = -!- sin ûT sin w.
3oo
La différenlialion de ces équations conduit aux trois suivantes :
/ Sin&J ^/c'^::: Sin CTf/e,
(4) \ dn'-^d(ù:= — cosn Je,
( dzj =^ dr, -+- cos w ds'.
10. La dernière é^quaiion (4) fournit un théorème remarquable. Je dis d'abord que si la courbe C est une ligne de courbure de la surface S, l'angle w = go", et réciproquement. Désignons en effet par X, Y, Z les coordonnées d'un point quelconque de la normale menée à la surface S par le point (.r, 7% z) de la courbe C, et par R la dislance des deux points (X, Y, Z), {x, r, z ), on aura
X — ^-hRcosa'nzo, Y— j-f- Rcos S'^ o, Z — 3-J-RcOS7'= o;
pour exprimer que celte normale est rencontrée au point (X, Y, Z) par la normale menée à S en un point infiniment voisin de {x, j", z) pris comme celui-ci sur la courbe C, il suffira de diflérentier les équations précédentes en coiisidérani X, Y, Z et R comme constantes. On a ainsi
RcOstdz'=dsCOScr., RcOSu'f/e'=:t/5COS6, RCOSÇ' de':^dsCOS'/,
Rde' = ds, et
cosç' = cosa, cosu'=cos6, cosÇ' = cosv.
^Les formules (1) montrent que ces dernières équations équivalent à
sin w — - I , ou cos w ^r: o, ou w = 90".
D'après cela, et en se reportant aux formules (4), on voit que l'équaiion
exprime la condition néceî-saire et suffisante pour que C soii une ligne de courbure de S. Mais ct désigne évidemment [première équation (3)] l'angle que le plan osculateur de C fait avec le plan tangent de S, ou avec la surface S elle-même. On peut donc énoncer le théorème suivant, dû à Lancret:
L'angle de torsion d'une ligne de courbure d'une surface est la différentielle de l'angle que fait avec la surface le plan osculateur de la ligne de courbure.
DES LIGNES ET DES SURFACES COURBES. 3oi
Et réciproquement ,
Une ligne tracée sur une surface est une ligne de courbure (fe la surface, si l'angle de torsion est la différentielle de l'angle que fait avec la surface le plan osculateur de la ligne.
Si l'on suppose que la courbe C soit plane, on a f/>3 = o et, par suite, l'équation f/nr = dn donne cr =: constante. On a donc le théorème suivant qui est un cas particulier du précédent et que Joachimsthal a démontré directement:
Si une ligne de courbure d'une surface est plane, le plan de cette ligne de courbure coupe la surface partout sous hmême anale.
El réciproquement.
Si un plan coupe une surface partout sous le même angle, r intersection est une ligne de courbure de la surface.
On peut encore déduire de ce qui précède une propriété curieuse. La courbe C étant ligne de courbure de S, on a, comme on a vu, «^90" et par suite f/w = o; les deux premières équations (4) donnent alors
di'^siïÏTjdz, dr/ — — COScj^î, -;— = — laUL^rr,
ce qui montre que -7-7 est constant si la courbe C est plane. On
Clr, '
a donc ce théorème ;
Si une ligne de courbure d'une surface est plane, les normales de la surface aux points de la ligne de courbure forment une surface développable dont l'arête de rebroussement jouit de la propriété que ses deux courbures ont un rapport constant. Cette arête de rebroussement est donc une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque.
11. Supposons que la courbe C soit l'intersection de la surface S par une autre surface S, ; désignons par w,, cr,, s' et ■/{ les valeurs qu'il faut mettre au lieu de w, ci, s', r/ quand on substitues, à S. On aura
</cT= rfn 4-COSwf/i', dTj, = f/»3 4-COSw, de\,
3o2 NOTE SUR LA THEORIE
d'où, en faisant - — ct, ^ V,
c?V= cosoids' — cos w, de\ .
11 est aisé de voir que V est l'angle sous lequel se coupent les surfaces S et S,, car le cosinus de cet angle est la somme des produits des cosinus des angles que font les normales aux surfaces S et S, avec trois axes rectangulaires quelconques. Si l'on prend pour ceux-ci les trois droites (a, 6, 7) , ( ?, u, !; ), ( 1, f/, v), on trouve immédiatement que le cosinus dont il s'agit est égal à coscj cosct, H-sin ct sino,, c'est-à-dire égal à cos (n — cr,).
Si la courbe C est ligne de courbure de S et de S,, cos w et coso), sont nuls, on a donc
f/V = o et V= constante.
Réciproquement si V est constante et si l'un des cosinus cos w et cos w, est nul, l'autre est aussi nécessairement nul. On a donc ce théorème :
Si l'intersection de deux surfaces est une ligne de courbure de chacune d'elles, ces deux surfaces se coupent partout sous le même anale.
Et réciproquement ,
Si deux surfaces se coupent partout sous le même angle et si l'intersection est une ligne de courbure de l'une des surfaces, elle sera aussi une ligne de courbure de l'autre surface.
Supposons que l'une des deux surfaces se réduise à un plan ou à une Sphère; toute ligne plane ou sphérique peut être considérée comme une ligne de courbure du plan ou de la sphère sur laquelle elle se trouve. On a donc ce théorème qui comprend l'un de ceux énoncés précédemment :
Si une ligne de courbure d'une surface est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui contient cette ligne, coupe la surface partout sous le même angle.
El réciproquement,
Si un plan ou une sphère coupe une surface partout sous le même angle, l'intersection est une ligne de courbure de la surface.
DES LIGNES ET DES SURFACES COURBES. 3o3
On peut ajouter la proposition suivante :
Une ligne de courbure d'une surface ne peut être ligne géodésique sur cette surface que si elle est plane, et dans ce cas il faut encore que le plan de la ligne de courbure soit normal à la surface ; cette condition est évidemment suffisante.
En effet, reprenons les équations (4)- Pour que la courbe C soit ligne géodésique de S, il faut et il suffit que cr soit égal constamment à 90°; on a alors dts = o, et la troisième équation (2) devient
dn-\- cos oidz' =^ o.
Pour que cette ligne géodésique soit ligne de courbure, il faut que cos w =: o et par suite dn = o.
