III

Recherche des surfaces dont les lignes de courbure de Vun des systèmes sont planes ou sphériques.

12. Sur les trajectoires orthogonales d'un plan mobile. La recherche des surfaces pour lesquelles les lignes de l'une des courbures sont situées dans des plans normaux à la surface, se ramène immédiatement à la détermination des trajectoires orthogonales d'un plan mobile. L'intégration dont dépend la solution de ce problème peut être effectuée d'une manière très-élégante au moyen des formules que nous avons établies dans le § I; c'est ce que je me propose de montrer ici.

Désignons par x, y, z des coordonnées rectangulaires; par a, 6, 7; £, u, Ç; 1, fi, V les angles formés avec les axes par la tangente de la trajectoire orthogonale du plan mobile, par la normale principale (direction du rayon de courbure) et par l'axe du plan osculaleur. Soient aussi ds la différenlielle de l'arc de la trajectoire, dt l'angle de deux tangentes infiniment voisines, et dr, l'angle de deux plans osculateurs infiniment

voisins. On aura ces trois formules relatives à l'axe des x,

j [ C?COS a == cosç di. ,

( I ) ] d cos \ — cos c dn ,

( f/cOSÇ= — COSaf/s — COSldn,

3o4 XOTE SUR I,V THÉORIE

et six autres semblables relatives aux axes des j et des z; on a, en outre,

l dz ~ \'{ il cos y.)' -^[ d cos § )' H- (f/ COS7 )^

( r/n^ v'(^cos/ )--}-(rfcosp.)^4-(c/cosv)-.

Cela posé, l'équalion du plan mobile sera

(3) ^ COSx -h JCOS o + 2 COS7 = f«,

oij l'on doit considérer a, 8, 7 et n comme des fonctions d'un paramètre variable t; et, pour obtenir les trajectoires orthogonales, il faudra intégrer les équations

(4) dx =^ds cos y., d}- =:^ ds cos^, dz = ds cos y. A cet effet, nous poserons

(5) ^cos). -h rcos y. -:- z cos'j = U;

en différentiant deux fois cette équation (5), et ayant égard aux équations (i) et (4), il vient

(o) ^cos ^ -|-rcos-j-{-2Cos!; = -7— 5

(7) ^COSa -1-JCOS^ -f- 2 cos 7 = —

La comparaison des équations (3) et (7) donne (/U

dn dr,

Sans fixer la quantité que nous choisissons pour le paramètre t, nous pouvons prendre n pour variable indépendante, et poser

(p" désignant la deuxième dérivée de la fonction ç; alors l'intégrale de l'équation (8) est

(10) U = A sin 75 -hB cos ■// — 'y(/,}> A et B étant deux constantes arbitraires.

DES LIGNES ET DES SLUFACES COURBES. So")

11 résulte de là que, si l'on pose (il) V =a: cos)i4-jcosu.-t-2 cosv-f-çp(»]) — Asin>î — B cosr.,

les équations (5), (6) et (7) qui appartiennent à la trajectoire (lu plan mobile seront équivalentes aux trois suivantes :

car les termes qui proviennent de la variation de x, y-, z

dans V et dans —j- se détruisent mutuellement. ut

Nous ferons

CC,9,/.=z -, COS 'J.

fin

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