COS V

Vl-r-Z=-i-.r(/)

d'où il résulte

en désignant par/une fonction du paramètre t et par/' la dérivée de celte fonction. Si, en outre, on met dans l'équation (i i), F(^) au lieu de o (v:), 9 et*(ô)aulieude AetB, il vient

(r-î) V = î^-^^ZIf).^'-hF(/)-Osin.-.KO)cos.,

où 71 représente la valeur donnée par l'équation (i3). Et si l'on élimine ^ et 9 entre les équations

/ rx ^r d\ d'Y

on obtiendra l'équation générale des surfaces pour lesquelles les lignes de l'une des courbures sont dans des plans normaux à la surface; les équations (i5) renferment trois fonctions arbitraires,/, F et <i). 11 est clair que notre analyse exclut le cas où les lignes de la deuxième courbure sont planes.

On peut obtenir un résultat plus simple encore dans le cas particulier où les plans des lignes de la première courbure

3o6 NOTE SUR LA TIlÉOKlE

passent par un point fixe. En plaçant l'origine des coordonnées en ce point, on a u = o, et lo fonction o de l'équaiion ( i o) est nulle. Si l'on pose

W = V sin « -i — T— ces ri,

Clr,

on pourra aux équations (12), c'est-à-dire aux équations (5), (6) et {7), substituer les trois

dont la dernière s'obtient en ajoutant (5), (6), (7) après les avoir élevées au carré. Or, on désignant par/(/) une fonction du paramètre t et faisant

cosJlsin>7-t-cosÇcos v? cos/:/. sinv;-l-cosucos*; cosv sin>j-t- cosÇ cos>7

la valeur de W se réduit à ■^- — A; si donc on pose

A = cI)(A»-r B»),

et qu'on remplace A= + B^ par :c= -+- r' -f- z-, ce qui donne

l'équation de la surface que nous considérons sera le résultat de l'élimination de t entre les deux équations

qui renferment les deux fonctions arbitraires / et *. On retrouve ainsi, dans ce cas particulier, l'une des surfaces étudiées par Monge.

13. Sur les trajectoires orthogonales d'une sphère mobile. La recherche des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont situées sur des sphères normales à la surface, se ramène immédiatement à la détermination des trajectoires orlho-

DES LIGNES ET DES SURFACES COURBES. Soj

p^onales d'une sphère mobile, el ce dernier problème se réduit lui-même très-aisément à la détermination des trajectoires orthogonales d'un plan mobile, question dont nous venons de donner la solution. C'est ce que je me propose d'établir

ici n-

Soit

(0 {x- — ay--h{r— 1>T -h{z — cy- = r^

l'équation d'une sphère encoordonnéesrectangulaires; a,b,c,r désignent dos fonctions d'un paramètre variable t. Les trajectoires orthogonales de celte sphère mobile auront pour équations différentielles

, , dx »/>' dz

Soient a, 6, 7 les angles formés avec les axes par une droite arbitraire variable avec le paramètre t', désignons aussi par u une nouvelle fonction de t et posons

,g, ; ,COSa ,COSê , ,C0S7

( 5 ) cla = rua , db = nid — — ■> de = nid •

Enfin, au lieu des variables ^, j, z, prenons-on trois autres ^,, j,, s, telles que l'on ait