dx" n
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si n est > i, et l'on a d'ailleurs, dans la même hypothèse, filogr(i -{-x\
dx
^-- — C, logr(n-^) = o;
la formule de Maclaurin donnera donc, pour les voleurs de ^ comprises entre — i et -h i,
(26) Iogr(i + .r^,r^— C^-hS3-— Saf-Vs,^* — ,..;
celte formule n'est pas commode pour le calcul, parce que les sommes S décroissent peu rapidement, mais on peut obtenir des séries plus convergentes; si à la dernière équation ou ajoute la suivante
0= — log(i-}-^) + ^ — — -+--■; — -i--..,
il viendra
logr(i-i-jr)=3 — log(i-}-x)-t-(i — C)^ H-i(S.-iK-i(S3— i)x-
les termes de cette série décroissent assez rapidement, mais on peut encore augmenter sa convergence. Si l'on change x en — X dans la formule précédente, il vient
logr(i — x)=^ — log(i — x) — (i — C)x
Mais on a
r(i-t-a:) = ^r(x), r(^)r(i — x)=.-^ — ■■) et, en multipliant,
^XWt.X
d'où
nx
logr(i + ^) + logr(i — a:) = log-
sm -KX Ajoutant cette équation avec l'équation ( 27 ), retranchant en-
suite l'équalion (28), et divisant le résultat par 2, il vient !ogr(n-^ =:-log-^ log h(i — C X
D'après les propriétés démontrées plus haut, la fonction r sera connue pour toutes les valeurs positives de l'argument si l'on connaît cette fonction pour les valeurs comprises entre o et
-1 ou entre - et 1, ou entre i et i H — ? ou etc.; or 1 equa- 22 2
tion (29) permet de calculer très-rapidement logr(i-t-^j
pour les valeurs de x comprises entre o et -• Dans son Traité
des fonctions elliptiques, Legendre a donné avec seize décimales les valeurs de S„ depuis n — 2 jusqu'à n = 35.
Si dans la formule (29) on fait .r := i et ^ = -5 ce qui donne
r(^-l-i)=:i et r(.r -h i)=?=- V^TT, on aura deux équations qui pourront servir au calcul de la constante C; on trouve, en observant que log H-lo^(i — x) = opour^ = i,
SIUtt^
I C=^l0g2 + i(S3 — l) + ^(Ss— .) + -(S:-l)-!----,
quatorze sommes S suffisent, par ces formules, pour obtenir C avec quinze décimales; on trouve ainsi
nous ferons connaître, dans la Note suivante, un procédé plus expéditif pour calculer cette constante, procédé qui n'exige pas le calcul préalable des sommes S.
