Remarque sur l'interpolation de la fonction numérique

Puisque l'on a

quand x est un nombre entier, la fonction T{x) peut servir,

ainsi que Lacroix en a fait la remarque ( n" 434-, p. 84), à l'inlerpclalion de la suite dont le terme général est i . 2 . 3 . . .{x — i ). La formule précédente exprime en effet ce produit parle moyen d'une fonction continue de x dans laquelle la variable est susceptible de recevoir toutes les valeurs réelles positives et même toutes les valeurs imaginaires dont la partie réelle est positive. Mais la formule ( 28 ) ou ( 25 ) fournit un mode d'interpolation beaucoup plus général, puisqu'elle permet d'exprimer le produit 1.2.3. ..(^ — i) par une fonction continue de x, dans laquelle la variable peut recevoir une valeur réelle ou imaginaire quelconque. Comme ce résultat est d'une extrême importance, il n'est pas hors de propos de faire voir que les considérations les plus élémentaires conduisent immédiatement aux formules (28) et (25), lorsque l'on cherche à interpoler la fonction numérique i .2.3. . . (^ — 1)

Soient donc x ei m deux nombres entiers positifs, les ^ — i fractions

tendront vers l'unité si m tend vers l'infini, x restant constant; il en sera donc de môme du produit de ces x — i fractions, et l'on aura

{/n -i- i) {ni -- '2) . . . (ni -{- X — i ) 1-4- Jm

Sm étant une quantité qui s'annule pour m = co ; multipliant les deux termes de la fraction du premier membre par 1.2.. m et chassant le dénominateur i -!-£„, il vient

fi .2.3 ... ml m'~' , ,